codeforces 900D 數論+組合+容斥原理

問有多少個這樣的數字序列

全部數的GCD等於x 而且 全部數的和等於y

題解：

很是難有思路啊 看題解後過的。

考慮序列GCD爲x的倍數 即GCD = n*x 和固然都爲y 這個條件不要忘了

這樣咱們能夠用  容斥原理來遞推的計算GCD爲n*x的序列個數是多少

怎麼計算呢

以樣例爲例子 3 9

當GCD = 3 的時候 能夠有9 / 3 = 3 個3 序列是這樣的 3 3 3

那麼有三個空 用插板法 能夠計算能夠插板的方式數位2**(3-1) = 2**2 = 4種

這裏解釋插板的意義 3|3 3插一個板就表示相鄰的數求和 那麼3|3 3 就是 6 3

同理 3 3|3 -> 3 6; 3|3|3 -> 9； 可是這樣插板出現了問題 就是出現了GCD 並不爲3的序列 即 9

這個時候就須要用容斥原理來 遞推 

設a[i] 表示GCD爲i的序列個數， a[j] 表示GCD爲j個數

不妨設i > j

if (i % j == 0) a[j] = (a[j]+MOD-a[i]) % MOD; 由於 GCD 爲i的狀況是必定能夠經過插板 獲得GCD 爲j的狀況

而經過從大到小的遞推 a[i]已是容斥後的結果 

這樣最終獲得GCD最小爲x 的結果就是答案 網上題解寫的有點不太清楚 這裏本身補充點本身的理解。輕噴。。

代碼君：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #include <string.h>
 3 #include <iostream>
 4 #include <stdio.h>
 5 #define pb push_back
 6 
 7 const int MOD = 1e9+7;
 8 const int MAXN = 1e5+7;
 9 typedef long long ll;
10 
11 using namespace std;
12 
13 ll x, y;
14 
15 ll mypow(ll base, ll p)
16 {
17     if (p == 0) return 1;
18     ll tmp = mypow(base, p/2);
19     if (p & 1) tmp = (tmp*tmp*base) % MOD;
20     else tmp = (tmp*tmp) % MOD;
21     return tmp;
22 }
23 vector<ll> a;
24 ll dp[MAXN];
25 int main()
26 {
27     //freopen("in.txt", "r", stdin);
28     while (cin >> x >> y)
29     {
30         a.clear();
31         if (y % x != 0)
32         {
33             cout << 0 << endl;
34             continue;
35         }
36         for (ll i = 1; i*i <= y; i++)
37         {
38             if (i % x == 0 && y % i == 0) a.pb(i);
39             if (i*i != y && y % i == 0 && (y/i)%x==0 ) a.pb(y/i);
40         }
41         sort(a.begin(), a.end());
42         for (int i = 0; i < a.size(); i++) dp[i] = mypow(2, (y/a[i]-1));
43         for (int i = (int)a.size()-1; i >= 0; i--)
44             for (int j = i+1; j < a.size(); j++) 
45                 if (a[j] % a[i] == 0) 
46                 {
47                     dp[i] -= dp[j];
48                     dp[i] = (dp[i] + MOD) % MOD;
49                 }
50         cout << dp[0] << endl;
51     }
52     return 0;
53 }    

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