容斥原理和抽屜原理

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1、容斥原理

　　在計數時，要保證無一重複，無一遺漏。爲了使重疊部分不被重複計算，在不考慮重疊的狀況下，把包含於某內容中的全部對象的數目先計算出來，而後再把計數時重複計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重複，這種計數的方法稱爲容斥原理。

　　1.容斥原理1——兩個集合的容斥原理

　　若是被計數的事物有A、B兩類，那麼，先把A、B兩個集合的元素個數相加，發現既是A類又是B類的部分重複計算了一次，因此要減去。如圖所示：

　　公式：A∪B=A+B-A∩B

　　

 

　　總數=兩個圓內的-重合部分的

　　【例1】一次期末考試，某班有15人數學得滿分，有12人語文得滿分，而且有4人語、數都是滿分，那麼這個班至少有一門得滿分的同窗有多少人?

　　數學得滿分人數→A，語文得滿分人數→B，數學、語文都是滿分人數→A∩B，至少有一門得滿分人數→A∪B。A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一門得滿分。

　　2.容斥原理2——三個集合的容斥原理

　　若是被計數的事物有A、B、C三類，那麼，將A、B、C三個集合的元素個數相加後發現兩兩重疊的部分重複計算了1次，三個集合公共部分被重複計算了2次。

　　如圖所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重複計算了1次，黑色部分A∩B∩C被重複計算了2次，所以總數A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。即獲得：

　　公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C

　　

 

　　總數=三個圓內的-重合兩次的+重合三次的

　　【例2】某班有學生45人，每人都參加體育訓練隊，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，問：三項都參加的有多少人?

　　參加足球隊→A，參加排球隊→B，參加游泳隊→C，足球、排球都參加的→A∩B，足球、游泳都參加的→C∩A，排球、游泳都參加的→B∩C，三項都參加的→A∩B∩C。三項都參加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。

　　3.用文氏圖解題

　　文氏圖又稱韋恩圖，可以將邏輯關係可視化的示意圖。從文氏圖可清晰地看出集合間的邏輯關係、重複計算的次數，最適合描述3個集合的狀況。

　　【例3】某班有50 位同窗參加期末考試，結果英文不及格的有15 人，數學不及格的有19 人，英文和數學都及格的有21 人。那麼英文和數學都不及格的有( )人。

　　A.4 B.5 C.13 D.17

　　解析：如圖所示，按英文及格、數學及格畫2個圓圈，根據題幹條件肯定它們重疊。

　　

 

　　2、抽屜原理

　　能利用抽屜原理來解決的問題稱爲抽屜問題。在行測考試數學運算中，考查抽屜原理問題時，題幹一般有「至少……，才能保證……」字樣。

　　抽屜原理1

　　將多於n件的物品任意放到n個抽屜中，那麼至少有一個抽屜中的物品件數很多於2。(至少有2件物品在同一個抽屜)

　　抽屜原理2

　　將多於m×n件的物品任意放到n個抽屜中，那麼至少有一個抽屜中的物品的件數很多於m+1。(至少有m+1件物品在同一個抽屜)

　　下面咱們經過幾個簡單的例子來幫助理解這兩個抽屜原理。

　　【例1】將5件物品放到3個抽屜裏，要想保證任一個抽屜的物品最少，只能每一個抽屜放一件，有5件物品，放了3件，還剩5-3×1=2件，這兩件只能分別放入兩個抽屜中，這樣物品最多的抽屜中也只有2件物品中公.教育版權。

　　即當物品數比抽屜數多時，無論怎麼放，總有一個抽屜至少有2件物品。

　　【例2】將10件物品放到3個抽屜裏呢?將22件物品放到5個抽屜裏呢?

　　一樣，按照前面的思路，要想保證任一個抽屜的物品數都最少，那麼只能先平均放。

　　10÷3=3……1，則先每一個抽屜放3件，還剩餘10-3×3=1件，隨便放入一個抽屜中，則這個抽屜中的物品數爲3+1=4件。

　　22÷5=4……2，則先每一個抽屜放4件，還剩餘22-4×5=2件，分別放入兩個抽屜中，則這兩個抽屜中的物品數爲4+1=5件。

　　即若是物體數大於抽屜數的m倍，那麼至少有一個抽屜中的物品數很多於m+1。

　　1.利用抽屜原理解題

　　通常來講，求抽屜數、抽屜中的最多有幾件物品時採用抽屜原理，其解題流程以下：

　　(1)找出題幹中物品對應的量;

　　(2)合理構造抽屜(簡單問題中抽屜明顯，找出便可);

　　(3)利用抽屜原理一、抽屜原理2解題。

　　【例題1】外國講星座，中國傳統講屬相。請問在任意的37箇中國人中至少有幾我的的屬相相同?

　　A.3 B.4 C.5 D.6

　　解析： 屬相有12種，當作12個抽屜，則至少有一個抽屜有很多於 =4我的，即至少有4我的屬相相同，選B。

 

　　2.考慮最差(最不利)狀況

　　抽屜問題所求多爲極端狀況，即從最差的狀況考慮。對於「一共有n個抽屜，要有(取)多少件物品，才能保證至少有一個抽屜中有m個物體」，即求物品總數時，考慮最差狀況這一方法的使用很是有效。具體思路以下：

　　最差狀況是儘可能不能知足至少有一個抽屜中有m個物品，所以只能將物品均勻放入n個抽屜中。當物品總數=n×(m-1)時，每一個抽屜中均有m-1個物品，此時再多1個，便可保證有1個抽屜中有m個物品。所以物品總數爲n×(m-1)+1。

　　【例題2】從一副完整的撲克牌中，至少抽出多少張牌，才能保證至少有6張牌的花色相同?

　　A.21 B.22 C.23 D.24

　　解析：此題答案爲C。一副完整的撲克牌包括大王、小王;紅桃、方塊、黑桃、梅花各13張。

　　至少抽出多少張牌→求取物品的件數，考慮最差狀況中公.教育版權。

　　要求6張牌的花色相同，最差狀況即紅桃、方塊、黑桃、梅花各抽出5張，再加上大王、小王，此時共取出了4×5+2=22張，此時若再取一張，則必定有一種花色的牌有6張。即至少取出23張牌，才能保證至少6張牌的花色相同。