【GIS數學基礎】-06圓錐投影

一. 基本概念

1.1 定義

設想用一個圓錐套在地球橢球體上,而把地球橢球上經緯網投影到圓錐面上,而後沿着某一條母線(經線)將圓錐面切開而展成平面,就獲得圓錐投影。圓錐面和地球橢球體相切稱爲切圓錐投影,圓錐面和地球橢球相割時稱爲割圓錐投影。

1.2 分類

按圓錐面與地球橢球體的相對位置分

• 正軸圓錐投影
  圓錐軸與地球橢球體的旋轉軸相一致

• 橫軸圓錐投影
  圓錐軸與地球橢球體的長軸相一致

• 斜軸圓錐投影
  圓錐軸既不和橢球體的旋轉軸重合， 也不與它的長軸相重合

  

按變形性質分

• 等角圓錐投影
  正軸等角圓錐投影也稱爲Lambert正形投影

• 等面積圓錐投影
  正軸等面積割圓錐投影也稱爲Albers投影

• 任意投影
  特例是等距離投影

二. 基本公式

2.1 正軸圓錐的基本公式

極座標公式爲：

其中δ表示兩條經線夾角在平面上的投影

α表示δ與λ的比值，小於1；λ表示地球橢球體上兩經線的夾角。

直角座標公式爲:

其中ρs表示製圖區域最低緯線的投影半徑

在該投影中,經緯線投影后呈正交，故a、b就是是m、n, 即經緯線方向就是主方向

2.2 正等角圓錐投影

基本公式：
根據等角條件 a=b或 m=n，得：

將M，N 公式帶入上式，並取積分可得：

K,α稱爲投影常數

當ϕ=0時，K=ρ，故K的幾何意義是赤道的投影半徑
正等角圓錐投影的通常公式以下：

投影常數α,K的肯定方法

1. 單標準緯線正等角圓錐投影:指定製圖區域中某一條緯線無長度變形
2. 雙標準緯線正等角圓錐投影:指定製圖區域中兩條緯線無長度變形
3. 定域等面積正等角圓錐投影:使製圖區域各部分面積變形的總和爲零，即製圖區域總面積和原來的大小保持不變

下圖分別對應上述123

雙標準緯線正等角圓錐投影：
經緯線的表象：其經線表現爲輻射的直線束,緯線投影成同心圓圓弧。圓錐面與橢球面相割的兩條緯線圈，稱爲標準緯線（ϕ1,ϕ2)

標準緯線的位置：

ϕs:製圖區域最南邊的緯度
ϕN:製圖區域最北邊的緯度

][9]

雙標準緯線正等角圓錐投影投影公式：

其中：

其餘的公式同前。

1. 角度沒有變形,即投影先後對應的圖形保持類似,故也可稱爲正形投影;
2. 兩條標準緯線上沒有任何變形;
3. 等變形線和緯線一致,同一條緯線上的變形到處相等；
4. 在同一經線上,兩標準緯線外側爲正變形(長度比>1)，而兩標準緯線之
5. 爲負變形(長度比<1),所以變形較均勻,絕對值也較小;
6. 同一緯線上等經差的線段長度相等,兩條緯線間的經線線段長度到處相等。

我國的1:100萬地圖採用該投影,爲了提升精度,1:100萬地圖的投影按百萬之一地圖的緯度劃分原則—從赤道00開始，緯差40一幅，從南向北共分紅15個投影帶，每一個投影帶單獨計算，創建數學基礎。因爲採用分帶投影，每帶緯度較小，我國範圍內的1：100萬地圖變形值幾乎相等，其長度變形最大不超過0.03%,面積變形約爲長度變形的2倍

三. 圓錐投影的變形分析及應用

在切圓錐投影中，標準緯線ϕ0處的長度比n01，其他緯線長度比均大於1，並向南、北方向增長；

在割圓錐投影中，標準緯線ϕ1ϕ2處長度比n1=n2=1，變形自標準緯線ϕ1ϕ2向內和向外增大，在ϕ1和ϕ2
之間n<1,在ϕ1和ϕ2之外n>1。

【結論】
圓錐投影最適用於中緯度處沿緯線伸展的製圖區域