卡特蘭數之不一樣的二叉搜索樹

在前面寫斐波那契數列的時候，忽然想起來卡特蘭數列，因此特意來重溫一下。

什麼是卡特蘭數列

首先這裏給出它的遞推公式  C_n = C₀C_n-1 + C₁C_n-2 + ... + C_n-1C₀

咋一看，看不明白，這就對了，咱來舉幾個例子：

這裏咱們先把第一項直接寫出來 C₀ = 1，那麼

C₁ = C₀C₀ = 1 * 1 = 1

C₂ = C₀C₁ + C₁C₀ = 1  + 1  = 2

C₃ = C₀C₂ + C₁C₁ + C₂C₀ = 2  + 1 + 2 = 5

...

高中數學到此爲止，再寫得露餡，回到今天的例題。

不一樣的二叉搜索樹

問題：給定一個整數 n，求以 1 ... n 爲節點組成的二叉搜索樹有多少種？

例：輸入n = 3，則結果等於5。5種二叉搜索樹以下：

 

 

 

分析：

這裏咱們注意一下二叉搜素樹的性質，知足當前節點值大於左節點值，小於右節點值的二叉樹纔是二叉搜索樹。

假設n個節點的二叉樹搜索樹的個數是G_n，以 i(1 <= i <= n) 爲根節點的二叉搜索樹個數定義爲F_i，

G_n = F₁ + F₂ + F₃ + ... + F_n

根據搜索樹性質，則當根節點的值爲i時, 它的左子樹爲由 節點1 到 節點i-1 組成的二叉搜索樹，右子樹爲由 節點i + 1 到 節點n 組成的二叉搜素樹。

推到出： F_i = G_i-1 * G_n-i

那麼 G_n = G₀G_n-1 + G₁G_n-2 + G₂G_n-3 + ... + G_n-1G₀

原來G_n 就是卡塔蘭數！

 

實現：

這裏用的是DP，先計算G₂ ，再計算G₃ ，一直到G_n。 

 1 int CatalanNum(int n) {
 2     if(n <= 1){
 3         return 1;
 4     }
 5     int[] dp = new int[n + 1];
 6     dp[0] = 1;
 7     dp[1] = 1;
 8     for(int i = 2; i <= n; i++){
 9         for(int j = 1; j <= i; j++){
10             dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
11         }
12     }
13     return dp[n];
14 }

時間複雜度：（2 + n) * (n - 1) / 2, 也就是O(N²)。

空間複雜度：dp數組，O(N)。

 

通項公式：

果真，數學家又給出了通項公式：

 

 

 代碼實現：

int CatalanNum (int n) {
    if(n == 0){
        return 1;
    }
    int[] dp = new int[n + 1];
    dp[0] = 1;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        dp[i + 1] = dp[i] * 2*(2 * i + 1) / (i + 2);
    }
    return dp[n];
}

時間複雜度：（O(N)。

空間複雜度：dp數組，O(N)。（能夠優化到O(1), 爲何我每次都不優化。。。）

 

最後提醒一下：卡特蘭數增加很是快，建議使用大數類型。

 

PS:

最近看到不少簡歷都提到了Dijkstra，哇塞，真的很亮眼。下次寫它。

 

End