線性基學習筆記

基礎定義：

張成

設 \(T\subseteq S\) ，全部這樣子集 \(T\) 的異或和組成的集合稱爲集合 \(S\) 的張成，記做 \(span(S)\) ,即從 \(S\) 中選出任意多個數，其異或和的全部可能的結果組成的集合。

線性相關

對於一個集合 \(S\) ，若是存在一個元素 \(S_i\) ，使得，\(S\) 在去除這個元素後獲得的集合 \(S^{'}\) 的張成 \(span(S^{'})\) 中包含 \(S_i\) ，即 \(S_i\in{span(S^{'})}\) ，則稱集合 \(S\) 線性相關。

更形象地，能夠表示爲，存在一個元素 \(S_i\) ，能夠用其它若干個元素異或起來獲得。

相對的，若是不存在這樣的元素 \(S_i\)，則稱集合 \(S\) 線性無關。

一個顯然的結論是，對於這個線性相關的集合 \(S\) ，去除這個元素後，集合的張成不變。

線性基

咱們稱集合 \(B\) 是集合 \(S\) 的線性基，當且僅當：

1.$ S\in{span(B)} $。

2.B是線性無關的。

學習博客

線性基用處：用來解決異或和問題。

struct LinearBasis
{
	# define N 64
	# define reg register
	# define TT template<class T>
	# define LL long long
	
	LL base[N];
	
	TT
	inline void Insert(T x)
	{
		for(reg LL i = N-1; ~i ; --i)
			if(x & (1LL << i))//可簡化成 （x >> i） 
			{
				x ^= base[i];
				if(base[i] == 0){base[i] ^= x;return;}
			}
	}
	
	TT
	inline bool Check(T x)
	{
		for(reg int i = N-1; ~i ; --i)
			if(base[i]) x ^= base[i];
			
		return x == 0;
	}
	
	inline void Merge(LinearBasis x)
	{
		for(reg int i = N-1; ~i ; --i) if(x.base[i]) Insert(x.base[i]);
	}
	
	inline LL Xor_Sum_Max()
	{
		LL res = 0;
		
		for(reg int i = N-1; ~i ; --i) if((res ^ base[i]) > res)   res ^= base[i];
		
		return res; 
	}
	
	inline LL Xor_Sum_Min()
	{
		LL res = 0;
		
		for(reg int i = N-1; ~i ; --i) if((res ^ base[i]) < res)   res ^= base[i];
		
		return res; 
	}
	
	# undef N
	# undef reg
	# undef TT
	# undef LL 
} T;

題目

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