ACM線性基學習筆記

時間 2019-11-17

原文原文鏈接

http://www.javashuo.com/article/p-dimugxuz-e.htmlphp

概述

最近的幾場多校出現了好幾回線性基的題目，，會想起以前在嘗試西安區域賽的一道區間異或和最大的問題時，當時由於異或的性質知道這道題確定用線段樹來維護區間的最值，可是不知道用什麼來處理異或和最大，，即便後來知道了能夠用線性基來處理，看了一些博客也由於感受太難收藏到書籤就再也沒看過，，，因而這幾天，花了差很少四、5天的時間，大概看懂了這部分的內容，感受這只是一種專門處理異或問題的一個工具，光這個工具沒什麼意思，，如今的不少題目都是用線性基套各類東西，，好比說很常見的線段樹（大多都是詢問）、樹鏈剖分（也就是樹上路徑的異或問題，主要是求LCA來維護）、簡單圖以及像杭電第一場的那題同樣貪心魔改線性基板子等等，，不可能單純的只是用線性基板子來求一個什麼最值，K值，並交等等性質，下面是我這幾天學習線性基的簡單的一個學習過程的記錄。html

數學知識

關於線性基，雖然看起來這三個字很高深，，可是等大體瞭解以後，就會發現，這只是一個簡單的數學工具，基礎知識就是學過的線性代數 ~~（雖然早就忘記了）~~ 。node

拋開線性代數，我我的的理解就是線性基就是一個用來表示給定集合的一個最少的數的集合，用線性基這個集合，能夠表示它所張成的一個集合，對於咱們遇到的大多數題目來講，就是用一個最少的數的集合 \(lb\) 經過異或的形式能夠表示數組（集） \(a\) 。ios

咱們能夠用 \(n\) 個 \(2^i\) 這樣不一樣的二進制數組 \(a_i\) 的異或來表示全部 \([0 ...2^n-1]\) 的任意一個數，例如： \([01], [10]\) 可一個表示 \(0, 1, 2, 3\) 。但若是去掉 \(a_i\) 中的一些數，顯然能表示的數集就減小了些，，反過來想，對於任意一個數集，咱們均可以找到這樣一個數集的子集 \(a_i\) ，\(a_i\) 中的任意數的異或和能夠表示這個數集中的每個數，這樣咱們至關於對原數集進行了壓縮，用一個小的集合表示出來了，，並且顯然他的最大大小就是數在二進制表示的位數，c++

能夠這樣表示的緣由是由於對於一個線性基，他能夠看做是一個向量組，這些向量間是線性無關的，也就是說任意一個向量都不能夠經過其餘的向量表示，也就是線性基中的每個數都不能夠經過其餘數的異或獲得，，這樣的一個向量組的線性組合能夠張成一個線性空間，，，（具體的更加詳細的數學知識能夠看這裏）或者維基算法

線性基的做用

在ACM中大多數的線性基的做用就是維護一段數的異或的各類性質，例如最值、K值、一個數 \(x\) 可否能夠被這些數的異或和表示、線性基的交併等等。這只是一個工具，主要是和其餘知識點的結合。數組

線性基的基本的板子

不知道是這個知識點不那麼重要仍是怎麼的，，不像其餘的算法，網絡上找到的關於線性基好的資料不多不多，，尤爲是板子，，沒有註釋，，新手 ~~（我）~~ 一開始根本看不懂，，只能硬啃前面的數學推導，，而後轉化成代碼，，，最後本身在借鑑別人的基礎上弄出了一份本身的板子，，，~~（怕不是過幾天就忘了寫的什麼）~~網絡

線性基的表示

根據定義，線性集就是一個數的集合，並且長度通常題中會給，，ll就是64，int就是32等等，，因此他就是一個數組就好了，，，數據結構

static const int maxbase = 35;
ll a[maxbase + 1];

線性基的插入

線性基的最基本的操做就是遍歷一個數集，，而後挑出其中的線性基，這個過程就是將一個數 \(t\) 插入到線性基中，，對於當前線性基 \(a\) ，若是它中的元素和 \(t\) 線性無關，那麼 \(t\) 就是一個基底，，把他插入到線性基中，，根據定義，，若是發現是線性相關的，，那麼就說明如今的線性基 \(a\) 能夠表示這個數，，一頓操做以後，，\(t\) 必定變成了0，，（用這個能夠判斷是否一個數能被線性基表示，，，dom

插入的本質就是一個維護線性基矩陣的過程，，有兩種維護的形式，，一種就是無論插入的元素對其餘元素的影響，，維護一個上三角的線性基矩陣，，這樣的時間複雜讀低一些；另外一種就是利用高斯消元，，對於一個能夠插入的元素，先用下面的行來消本身，而後用本身消上面幾行 ，，這樣能夠保證插入一個元素後，線性基的矩陣只有插入的那一行對應的那一位是1，，其餘的都是零，，也就是一個對角矩陣。

bool insert(ll t)
{
    //暴力插入一個數，維護的是一個上三角型的線性基矩陣，時間複雜度低，當待插入元素能插入時，返回true
    for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
    {
        if(t & (1ll << i))
        {
            if(!a[i])
            {
                a[i] = t;
                break;
            }
            t ^= a[i];
        }
    }
    if(t == 0)flag = true;
    return t;
}
bool query(ll t)
{
    // 詢問t是否能夠被當前線性基表示，不插入
    if(t > queryMax())return false;
    if(t == 0)return true;
    for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
    {
        if(t & (1ll << i))
        {
            if(!a[i])
            {
                return false;
            }
            t ^= a[i];
        }
    }
    return true;
}
void Insert(ll t)
{
    //插入一個線性基，利用高斯消元法維護一個對角矩陣
    for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
    {
        if(t >> i & 1)
        {
            if(a[i])t ^= a[i];
            else
            {
                a[i] = t;
                for(int j = i - 1; j >= 0; --j)if(a[j] && (a[i] >> j & 1))a[i] ^= a[j];
                for(int j = i + 1; j <= maxbase; ++j)if(a[j] >> j & 1)a[j] ^= a[i];
                break;
            }
        }
    }
}

線性基最值

觀察線性基，顯然對於這個線性集表示的集合，他的最低那一行表示的元素必定是表示的數集異或的最小值，，因此只要從低到高返回第一非零的基底就能夠了，，（注意判斷0的狀況）；
對於最大值，咱們只要遍歷整個線性基，若是當前元素 \(a_i\) 異或上後答案變大，就異或這一位，

//詢問最值
ll queryMax()
{
    ll ret = 0;
    for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        if((ret ^ a[i]) > ret)
            ret ^= a[i];
    return ret;
}
ll queryMin()
{
    for(int i = 0; i <= maxbase; ++i)
        if(a[i])
            return a[i];
    return 0;
}

多個線性基的並、交

並：

並好說，直接暴力加到一個線性基中就好了，，反正不能插入的會在插入過程當中變成0，不用管

交：

交是牛客第四場多校才遇到的，，~~（整個線性基也是多校才遇到）~~ ，（交的板子只找到一個看得懂的），，，交的大體思路是這樣的 ~~（瞎猜ing）~~：

記第一個線性基爲 \(l_1\) ，另外一個是 \(l_2\) ，一個初始是 \(l_1\) 的線性基 \(all\) ，一個標記線性基 \(full\) （應該。。）
而後每次從 \(l_2\) 中拿一個基 \(v\) ，若是它能在 \(all\) 中表示出來，也就是屢次異或後的值爲0，，那麼就根據標記來插入這個 \(v\) ，表示他是交集的一個。。

板子：

LinearBasis merge(const LinearBasis &l1, const LinearBasis &l2)
{
    // 獲得兩個線性基的並
    LinearBasis ret = l1;
    for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        if(l2.a[i])
            ret.insert(l2.a[i]);
    return ret;
}
LinearBasis intersection(const LinearBasis &l1, const LinearBasis &l2)
{
    //獲得兩個線性基的交
    LinearBasis all, ret, full;
    ret.clear();
    for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
    {
        all.a[i] = l1.a[i];
        full.a[i] = 1ll << i;
    }
    for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
    {
        if(l2.a[i])
        {
            ll v = l2.a[i], k = 0;
            bool flag = true;
            for(int j = maxbase; j >= 0; --j)
            {
                if(v & (1ll << j))
                {
                    if(all.a[j])
                    {
                        v ^= all.a[j];
                        k ^= full.a[j];
                    }
                    else
                    {
                        // l2's basis is not in l1's;
                        flag = false;
                        all.a[j] = v;
                        full.a[j] = k;
                        break;
                    }
                }
            }
            if(flag)
            {
                ll v = 0; // get intersection by k;
                for(int j = maxbase; j >= 0; --j)
                {
                    if(k & (1ll << j))
                    {
                        v ^= l1.a[j];
                    }
                }
                ret.insert(v);  //save ans
            }
        }
    }
    return ret;
}

線性基求第 K 大

（留坑，，，尚未作題。。。

線性基完整板子

struct LinearBasis
{
    static const int maxbase = 35;
    bool flag = false;
    ll a[maxbase + 1];
    LinearBasis()
    {
        // memset(a, 0, sizeof a);
    }
    LinearBasis(ll *x, int n)
    {
        LinearBasis();
        build(x, n); 
    }
    void build(ll *x, int n)
    {
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            insert(x[i]);
    }
    void clear()
    {
        memset(a, 0, sizeof a);
    }
    bool insert(ll t)
    {
        //暴力插入一個數，維護的是一個上三角型的線性基矩陣，時間複雜度低，當待插入元素能插入時，返回true
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            if(t & (1ll << i))
            {
                if(!a[i])
                {
                    a[i] = t;
                    break;
                }
                t ^= a[i];
            }
        }
        if(t == 0)flag = true;
        return t;
    }
    bool query(ll t)
    {
        // 詢問t是否能夠被當前線性基表示，不插入
        if(t > queryMax())return false;
        if(t == 0)return true;
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            if(t & (1ll << i))
            {
                if(!a[i])
                {
                    return false;
                }
                t ^= a[i];
            }
        }
        return true;
    }
    void Insert(ll t)
    {
        //插入一個線性基，利用高斯消元法維護一個對角矩陣
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            if(t >> i & 1)
            {
                if(a[i])t ^= a[i];
                else
                {
                    a[i] = t;
                    for(int j = i - 1; j >= 0; --j)if(a[j] && (a[i] >> j & 1))a[i] ^= a[j];
                    for(int j = i + 1; j <= maxbase; ++j)if(a[j] >> j & 1)a[j] ^= a[i];
                    break;
                }
            }
        }
    }
    LinearBasis merge(const LinearBasis &l1, const LinearBasis &l2)
    {
        // 獲得兩個線性基的並
        LinearBasis ret = l1;
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
            if(l2.a[i])
                ret.insert(l2.a[i]);
        return ret;
    }
    LinearBasis intersection(const LinearBasis &l1, const LinearBasis &l2)
    {
        //獲得兩個線性基的交
        LinearBasis all, ret, full;
        ret.clear();
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            all.a[i] = l1.a[i];
            full.a[i] = 1ll << i;
        }
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            if(l2.a[i])
            {
                ll v = l2.a[i], k = 0;
                bool flag = true;
                for(int j = maxbase; j >= 0; --j)
                {
                    if(v & (1ll << j))
                    {
                        if(all.a[j])
                        {
                            v ^= all.a[j];
                            k ^= full.a[j];
                        }
                        else
                        {
                            // l2's basis is not in l1's;
                            flag = false;
                            all.a[j] = v;
                            full.a[j] = k;
                            break;
                        }
                    }
                }
                if(flag)
                {
                    ll v = 0; // get intersection by k;
                    for(int j = maxbase; j >= 0; --j)
                    {
                        if(k & (1ll << j))
                        {
                            v ^= l1.a[j];
                        }
                    }
                    ret.insert(v);  //save ans
                }
            }
        }
        return ret;
    }
    //詢問最值
    ll queryMax()
    {
        ll ret = 0;
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
            if((ret ^ a[i]) > ret)
                ret ^= a[i];
        return ret;
    }
    ll queryMin()
    {
        for(int i = 0; i <= maxbase; ++i)
            if(a[i])
                return a[i];
        return 0;
    }
};

線性基練習

模板題

熟悉下板子，，敲一下就能夠了，，

貪心+線性基插入元素的性質

對於每一個數集中的數，有一個第二權值，要保證選的數集中的數異或和不爲零的狀況下權值最大，，只要選權值從大到小且下標異或和不爲零的元素的貢獻就能夠了，

// luogu-judger-enable-o2
#include <bits/stdc++.h>
// #include <iostream>
// #include <cstdio>
// #include <cstdlib>
// #include <string.h>
// #include <vector>
// #include <algorithm>
// #include <set>
// #include <vector>
// #include <cmath>
// #include <queue>
// #include <stack>
// #include <ctime>
// #include <random>
#define aaa cout<<233<<endl;
#define endl '\n'
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
// mt19937 rnd(time(0));
const int inf = 0x3f3f3f3f;//1061109567 > 1e9
const ll linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps = 1e-5;
const double pi = 3.14159265358979;
const int maxn = 1e4 + 5;
const int maxm = 1e4 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;

struct LinearBasis
{
    static const int maxbase = 62;
    ll a[maxbase + 1];
    LinearBasis()
    {
        memset(a, 0, sizeof a);
    }
    LinearBasis(ll *x, int n)
    {
        LinearBasis();
        build(x, n);   
    }
    void build(ll *x, int n)
    {
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            insert(x[i]);
    }
    bool insert(ll t)
    {
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            if(t & (1ll << i))
            {
                if(!a[i])
                {
                    a[i] = t;
                    break;
                }
                t ^= a[i];
            }
        }
        return t;
    }
    void Insert(ll t)
    {
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            if(t >> i & 1)
            {
                if(a[i])t ^= a[i];
                else
                {
                    a[i] = t;
                    for(int j = i - 1; j >= 0; --j)if(a[j] && (a[i] >> j & 1))a[i] ^= a[j];
                    for(int j = i + 1; j <= maxbase; ++j)if(a[j] >> j & 1)a[j] ^= a[i];
                    break;
                }
            }
        }
    }
    LinearBasis merge(const LinearBasis &l1, const LinearBasis &l2)
    {
        LinearBasis ret = l1;
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
            if(l2.a[i])
                ret.insert(l2.a[i]);
        return ret;
    }
    ll queryMax()
    {
        ll ret = 0;
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
            if((ret ^ a[i]) > ret)
                ret ^= a[i];
        return ret;
    }
    ll queryMin()
    {
        for(int i = 0; i <= maxbase; ++i)
            if(a[i])
                return a[i];
        return 0;
    }
};
pair<int, ll> p[maxn];
int main()
{
    // double pp = clock();
    // freopen("233.in", "r", stdin);
    // freopen("233.out", "w", stdout);
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);

    int n; cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)cin >> p[i].second >> p[i].first;
    sort(p + 1, p + 1 + n, greater<pair<int, ll>>());
    LinearBasis l;
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)if(l.insert(p[i].second))ans += p[i].first;
    cout << ans << endl;

    // cout << endl << (clock() - pp) / CLOCKS_PER_SEC << endl;
    return 0;
}

線性基數量組合

題目問一些 \(01\) 序列能夠表示的數（狀態）有幾種，，就是線性基的大小的2次方，，，

// luogu-judger-enable-o2
#include <bits/stdc++.h>
// #include <iostream>
// #include <cstdio>
// #include <cstdlib>
// #include <string.h>
// #include <vector>
// #include <algorithm>
// #include <set>
// #include <vector>
// #include <cmath>
// #include <queue>
// #include <stack>
// #include <ctime>
// #include <random>
#define aaa cout<<233<<endl;
#define endl '\n'
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
// mt19937 rnd(time(0));
const int inf = 0x3f3f3f3f;//1061109567 > 1e9
const ll linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps = 1e-5;
const double pi = 3.14159265358979;
const int maxn = 1e4 + 5;
const int maxm = 1e4 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;

struct LinearBasis
{
    static const int maxbase = 62;
    ll a[maxbase + 1];
    LinearBasis()
    {
        memset(a, 0, sizeof a);
    }
    LinearBasis(ll *x, int n)
    {
        LinearBasis();
        build(x, n);   
    }
    void build(ll *x, int n)
    {
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            insert(x[i]);
    }
    bool insert(ll t)
    {
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            if(t & (1ll << i))
            {
                if(!a[i])
                {
                    a[i] = t;
                    break;
                }
                t ^= a[i];
            }
        }
        return t;
    }
    void Insert(ll t)
    {
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            if(t >> i & 1)
            {
                if(a[i])t ^= a[i];
                else
                {
                    a[i] = t;
                    for(int j = i - 1; j >= 0; --j)if(a[j] && (a[i] >> j & 1))a[i] ^= a[j];
                    for(int j = i + 1; j <= maxbase; ++j)if(a[j] >> j & 1)a[j] ^= a[i];
                    break;
                }
            }
        }
    }
    LinearBasis merge(const LinearBasis &l1, const LinearBasis &l2)
    {
        LinearBasis ret = l1;
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
            if(l2.a[i])
                ret.insert(l2.a[i]);
        return ret;
    }
    ll queryMax()
    {
        ll ret = 0;
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
            if((ret ^ a[i]) > ret)
                ret ^= a[i];
        return ret;
    }
    ll queryMin()
    {
        for(int i = 0; i <= maxbase; ++i)
            if(a[i])
                return a[i];
        return 0;
    }
};
char ch[55];
int main()
{
    // double pp = clock();
    // freopen("233.in", "r", stdin);
    // freopen("233.out", "w", stdout);
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);

    int n, m; cin >> m >> n;
    LinearBasis l;
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        cin >> ch;
        ll t = 0;
        for(int j = 0; j <= m - 1; ++j)
        {
            if(ch[j] == 'O')t |= 1;
            t <<= 1;
        }
        t >>= 1;
        if(l.insert(t))++ans;
    }
    cout << (1ll << ans) % 2008 << endl;

    // cout << endl << (clock() - pp) / CLOCKS_PER_SEC << endl;
    return 0;
}

LCA樹鏈剖分暴力合併線性基求路徑間點權異或和最大

這題的大意是一個樹，有點權，問你對於樹上任意兩點的路徑 \(u->v\) 的點權的異或和的最大值是多少，，

樹上任意兩點間的路徑就是問 LCA ，，因此用那幾種求LCA的方法就能夠了，，以前看過樹鏈剖分，，可是忘得差很少了，，撿起來重學了下，，

就和LCA的題同樣，不過是線段樹等數據結構維護的之不一樣了，，之前是和、最值什麼的，，這題改爲線性基就能夠了，，維護一條路徑的線性基，，而後進行線性基的合併就能夠了，，，~~（數據數組開成int炸了好幾發re~~

// luogu-judger-enable-o2
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#include <bits/stdc++.h>
// #include <iostream>
// #include <cstdio>
// #include <cstdlib>
// #include <string.h>
// #include <vector>
// #include <algorithm>
// #include <set>
// #include <vector>
// #include <cmath>
// #include <queue>
// #include <stack>
// #include <ctime>
// #include <random>
#define aaa cout<<233<<endl;
#define endl '\n'
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
// mt19937 rnd(time(0));
const int inf = 0x3f3f3f3f;//1061109567 > 1e9
const ll linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps = 1e-5;
const double pi = 3.14159265358979;
const int maxn = 2e4 + 5;
const int maxm = 1e4 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;

struct LinearBasis
{
    static const int maxbase = 63;
    ll a[maxbase + 1];
    LinearBasis()
    {
        memset(a, 0, sizeof a);
    }
    LinearBasis(ll *x, int n)
    {
        LinearBasis();
        build(x, n);   
    }
    void build(ll *x, int n)
    {
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            insert(x[i]);
    }
    void clear()
    {
        memset(a, 0, sizeof a);
    }
    bool insert(ll t)
    {
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            if(t & (1ll << i))
            {
                if(!a[i])
                {
                    a[i] = t;
                    break;
                }
                t ^= a[i];
            }
        }
        return t;
    }
    void Insert(ll t)
    {
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            if(t >> i & 1)
            {
                if(a[i])t ^= a[i];
                else
                {
                    a[i] = t;
                    for(int j = i - 1; j >= 0; --j)if(a[j] && (a[i] >> j & 1))a[i] ^= a[j];
                    for(int j = i + 1; j <= maxbase; ++j)if(a[j] >> j & 1)a[j] ^= a[i];
                    break;
                }
            }
        }
    }
    LinearBasis merge(const LinearBasis &l1, const LinearBasis &l2)
    {
        LinearBasis ret = l1;
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
            if(l2.a[i])
                ret.insert(l2.a[i]);
        return ret;
    }
    void merge(const LinearBasis &r)
    {
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
            if(r.a[i])
                insert(r.a[i]);
        return;
    }
    ll queryMax()
    {
        ll ret = 0;
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
            if((ret ^ a[i]) > ret)
                ret ^= a[i];
        return ret;
    }
    ll queryMin()
    {
        for(int i = 0; i <= maxbase; ++i)
            if(a[i])
                return a[i];
        return 0;
    }
};
struct edge
{
    int to, nxt;
}edge[maxn * 3];
int tot, head[maxn * 3];
int top[maxn * 3];
int fa[maxn * 3];
int dep[maxn * 3];
int num[maxn * 3];
int p[maxn * 3], fp[maxn * 3];
int son[maxn * 3];
int pos;
ll a[maxn], w[maxn << 2];
void init()
{
    tot = 0;
    memset(head, -1, sizeof head);
    pos = 0;
    memset(son, -1, sizeof son);
    memset(w, 0, sizeof w);
}
void addedge(int u, int v)
{
    edge[tot].to = v;
    edge[tot].nxt = head[u];
    head[u] = tot++; 
}
void dfs1(int u, int pre, int d)
{
    dep[u] = d;
    fa[u] = pre;
    num[u] = 1;
    for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].nxt)
    {
        int v = edge[i].to;
        if(v != pre)
        {
            dfs1(v, u, d + 1);
            num[u] += num[v];
            if(son[u] == -1 || num[v] > num[son[u]])
                son[u] = v;
        }
    }
}
void dfs2(int u, int sp)
{
    top[u] = sp;
    p[u] = ++pos;
    fp[p[u]] = u;
    w[pos] = a[u];
    if(son[u] == -1)return;
    dfs2(son[u], sp);
    for(int i = head[u]; ~i; i = edge[i].nxt)
    {
        int v = edge[i].to;
        if(v != son[u] && v != fa[u])
            dfs2(v, v);
    }
}


struct node
{
    int l, r;
    LinearBasis lb;
}node[maxn * 6];
void pushup(int rt)
{
    node[rt].lb.merge(node[rt << 1].lb);
    node[rt].lb.merge(node[rt << 1 | 1].lb);
    // cout << endl;for(int i = 0; i <= 5; i ++)cout << node[rt << 1].lb.a[i] << "-";cout << endl << endl;
    // cout << endl;for(int i = 0; i <= 5; i ++)cout << node[rt << 1 | 1].lb.a[i] << "+";cout << endl << endl;
    // cout << endl;for(int i = 0; i <= 5; i ++)cout << node[rt].lb.a[i] << " ";cout << endl << endl;
}
void build(int rt, int l, int r)
{
    node[rt].l = l; node[rt].r = r;
    if(l == r){node[rt].lb.insert(w[l]);return;}
    int mid = l + r >> 1;
    build(rt << 1, l, mid);
    build(rt << 1 | 1, mid + 1, r);
    pushup(rt);
    return;
}
LinearBasis ret;
void query(int rt, int l, int r)
{
    if(node[rt].l == l && node[rt].r == r)
    {
        ret.merge(node[rt].lb);
        return;
    }
    int mid = node[rt].l + node[rt].r >> 1;
    if(r <= mid)query(rt << 1, l, r);
    else if(l > mid)query(rt << 1 | 1, l, r);
    else query(rt << 1, l, mid), query(rt << 1 | 1, mid + 1, r);
}
ll getAns(int u, int v)
{
    int f1 = top[u], f2 = top[v];
    LinearBasis ans;
    while(f1 != f2)
    {
        if(dep[f1] < dep[f2])
        {
            swap(f1, f2);
            swap(u, v);
        }
        ret.clear();
        query(1, p[f1], p[u]);
        // cout << endl; cout << p[f1] << " " << p[u] << " " << f1 << " " << u << endl;for(int i = 0; i <= 5; ++i)cout << ret.a[i] << " ";cout<< endl;
        // cout <<ret.queryMax() << "----------------------" << endl;
        ans.merge(ret);
        u = fa[f1]; f1 = top[u];
    }
    ret.clear();
    if(dep[u] > dep[v])swap(u, v);
    query(1, p[u], p[v]);
    ans.merge(ret);
    return ans.queryMax();
}

int main()
{
    // double pp = clock();
    // freopen("233.in", "r", stdin);
    // freopen("233.out", "w", stdout);
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);

    init();
    int n, q; cin >> n >> q;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)cin >> a[i];
    int u, v;
    for(int i = 1; i <= n - 1; ++i)
    {
        cin >> u >> v;
        addedge(u, v);
        addedge(v, u);
    }
    dfs1(1, 0, 1);
    dfs2(1, 1);
    build(1, 1, pos);
    while(q--)
    {
        cin >> u >> v;
        cout << getAns(u, v) << endl;
    }
    // for(int i = 5; i >= 0; --i)
    //     cout << node[1].lb.a[i] << endl;
    // ret.clear();
    // query(1, p[4], p[4]);
    // cout << ret.queryMax() << endl;

    // cout << endl << (clock() - pp) / CLOCKS_PER_SEC << endl;
    return 0;
}

牛客第四場多校xor

這題求得是一個區間線性基的並，，題目大意是給你一堆數集 \(a_i\) ，，而後一些詢問 \(l, r, x\) 問你 \(a_l....a_r\) 的每個集合可否異或出 \(x\) ，，，

暴力線性基查詢確定會T ~~（說的就是我，，，~~，，

詢問的是一個區間的每個集合可否能夠異或出數 \(x\) ，，反過來想，，就是存在不存在一組線性基能夠表示 \(x\) 的狀況下同時是每一組的一個子集，，，也就是說這些集合線性基的交可否表示出 \(x\) ，，一個線性基可否表示數很簡單，，關鍵就是線性基的求交，，，弄好這個就能夠用線段樹維護區間的線性基的交，，，對於詢問，最直接的想法就是求出詢問區間的交，而後查看是否能夠表示出數 \(x\) ，，可是這樣不必，可能會T ，，，~~（別問我爲何，，，~~ ，，只要判斷每個詢問的子區間的交是否能夠表示便可，，把這些區間結果合併與就是答案，，，

~~（有一次把ll寫成int，瘋狂WA，，還有線性基的交魔改代碼爆炸~~ ，，，，

#include <bits/stdc++.h>
// #include <iostream>
// #include <cstdio>
// #include <cstdlib>
// #include <string.h>
// #include <vector>
// #include <algorithm>
// #include <set>
// #include <vector>
// #include <cmath>
// #include <queue>
// #include <stack>
// #include <ctime>
// #include <random>
#define aaa cout<<233<<endl;
#define endl '\n'
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
// mt19937 rnd(time(0));
const int inf = 0x3f3f3f3f;//1061109567 > 1e9
const ll linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps = 1e-5;
const double pi = 3.14159265358979;
const int maxn = 5e4 + 5;
const int maxm = 1e4 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
  
  
struct LinearBasis
{
    static const int maxbase = 35;
    bool flag = false;
    ll a[maxbase + 1];
    LinearBasis()
    {
        // memset(a, 0, sizeof a);
    }
    LinearBasis(ll *x, int n)
    {
        LinearBasis();
        build(x, n); 
    }
    void build(ll *x, int n)
    {
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            insert(x[i]);
    }
    void clear()
    {
        memset(a, 0, sizeof a);
    }
    bool insert(ll t)
    {
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            if(t & (1ll << i))
            {
                if(!a[i])
                {
                    a[i] = t;
                    break;
                }
                t ^= a[i];
            }
        }
        if(t == 0)flag = true;
        return t;
    }
    bool query(ll t)
    {
        if(t > queryMax())return false;
        if(t == 0)return true;
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            if(t & (1ll << i))
            {
                if(!a[i])
                {
                    return false;
                }
                t ^= a[i];
            }
        }
        return true;
    }
    void Insert(ll t)
    {
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            if(t >> i & 1)
            {
                if(a[i])t ^= a[i];
                else
                {
                    a[i] = t;
                    for(int j = i - 1; j >= 0; --j)if(a[j] && (a[i] >> j & 1))a[i] ^= a[j];
                    for(int j = i + 1; j <= maxbase; ++j)if(a[j] >> j & 1)a[j] ^= a[i];
                    break;
                }
            }
        }
    }
    LinearBasis merge(const LinearBasis &l1, const LinearBasis &l2)
    {
        LinearBasis ret = l1;
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
            if(l2.a[i])
                ret.insert(l2.a[i]);
        return ret;
    }
    LinearBasis intersection(const LinearBasis &l1, const LinearBasis &l2)
    {
        LinearBasis all, ret, full;
        ret.clear();
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            all.a[i] = l1.a[i];
            full.a[i] = 1ll << i;
        }
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            if(l2.a[i])
            {
                ll v = l2.a[i], k = 0;
                bool flag = true;
                for(int j = maxbase; j >= 0; --j)
                {
                    if(v & (1ll << j))
                    {
                        if(all.a[j])
                        {
                            v ^= all.a[j];
                            k ^= full.a[j];
                        }
                        else
                        {
                            // l2's basis is not in l1's;
                            flag = false;
                            all.a[j] = v;
                            full.a[j] = k;
                            break;
                        }
                    }
                }
                if(flag)
                {
                    ll v = 0; // get intersection by k;
                    for(int j = maxbase; j >= 0; --j)
                    {
                        if(k & (1ll << j))
                        {
                            v ^= l1.a[j];
                        }
                    }
                    ret.insert(v);  //save ans
                }
            }
        }
        return ret;
    }
    ll queryMax()
    {
        ll ret = 0;
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
            if((ret ^ a[i]) > ret)
                ret ^= a[i];
        return ret;
    }
    ll queryMin()
    {
        for(int i = 0; i <= maxbase; ++i)
            if(a[i])
                return a[i];
        return 0;
    }
}lb[maxn];
  
  
LinearBasis node[maxn << 2];
void pushup(int rt)
{
    node[rt] = node[rt].intersection(node[rt << 1], node[rt << 1 | 1]);
}
void build(int rt, int l, int r)
{
    if(l == r)
    {
        node[rt] = lb[l];
        return;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    build(rt << 1, l, mid);
    build(rt << 1 | 1, mid + 1, r);
    pushup(rt);
    return;
}
LinearBasis ans;
bool query(int rt, int l, int r, int L, int R, ll x)
{
    if(L <= l && r <= R)
    {
        return node[rt].query(x);
    }
    int mid = l + r >> 1;
    bool flag1, flag2;
    flag1 = flag2 = true;
    if(L <= mid)flag1 = query(rt << 1, l, mid, L, R, x);
    if(R >  mid)flag2 = query(rt << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, x);
    return flag1 & flag2;
}
  
int main()
{
    // double pp = clock();
    // freopen("233.in", "r", stdin);
    // freopen("233.out", "w", stdout);
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
  
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        int num; cin >> num;
        ll x;
        for(int j = 1; j <= num; ++j)
        {
            cin >> x;
            lb[i].insert(x);
        }
    }
    build(1, 1, n);
    int l, r;ll x;
    while(m--)
    {
        cin >> l >> r >> x;
        if(query(1, 1, n, l, r, x))cout << "YES" << endl;
        else cout << "NO" << endl;
    }
      
    // cout << endl << (clock() - pp) / CLOCKS_PER_SEC << endl;
    return 0;
}

杭電多校第一場Operation

這題的大意是對於給定的數組，有兩個操做，一個是詢問一個區間的異或和的最大值，，另外一個是在這個數組後面增長一個值，，，

這題也是誘使我學線性基的緣由，，

題解說直接數據結構維護會T，，我也沒試，，正解是貪心的維護一個 前綴線性基 ，在每插入一個數時，，若是能插入，，儘量的插到高位，，（這樣能夠保證靠近r的能夠插入的數儘量的在高位，，

也就是說，，對於任意的任意的一個區間，，無論它的長度多大，，，他的線性基最可能是30個（針對這題），，，因此咱們只須要維護r前面出現的較晚的新基，，這樣每次詢問，，都看得在r處的線性基中出現比l晚的基便可，，爲了實現這個過程，，，給每個線性基中的每一位都加一個標誌位 \(p_i\) ，，在插入一個新的數時，，，儘量的把他放在高位，，，（碰到一個能夠插入的位置時，把他插在這裏，，而後下推其它的基，，，

這題不能莽，直接開ll，，，會mle，，，

#include <bits/stdc++.h>
// #include <iostream>
// #include <cstdio>
// #include <cstdlib>
// #include <string.h>
// #include <vector>
// #include <algorithm>
// #include <set>
// #include <vector>
// #include <cmath>
// #include <queue>
// #include <stack>
// #include <ctime>
// #include <random>
#define aaa cout<<233<<endl;
#define endl '\n'
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;
// mt19937 rnd(time(0));
const int inf = 0x3f3f3f3f;//1061109567 > 1e9
const ll linf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const double eps = 1e-5;
const double pi = 3.14159265358979;
const int maxn = 5e5 + 5;
const int maxm = 1e4 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;
  
  
struct LinearBasis
{
    typedef int type;
    static const int maxbase = 30;
    bool flag = false;
    type a[maxbase + 1];
    type p[maxbase + 1];
    LinearBasis()
    {
        memset(a, 0, sizeof a);
        memset(p, 0, sizeof p);
    }
    LinearBasis(type *x, int n)
    {
        LinearBasis();
        build(x, n); 
    }
    void build(type *x, int n)
    {
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
            insert(x[i]);
    }
    void clear()
    {
        memset(a, 0, sizeof a);
        memset(p, 0, sizeof p);
    }
    bool insert(type t)
    {
        //暴力插入一個數，維護的是一個上三角型的線性基矩陣，時間複雜度低，當待插入元素能插入時，返回true
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            if(t & (1ll << i))
            {
                if(!a[i])
                {
                    a[i] = t;
                    break;
                }
                t ^= a[i];
            }
        }
        if(t == 0)flag = true;
        return t;
    }
    bool insert2(type t, type pos)
    {
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            if(t & (1ll << i))
            {
                if(!a[i])
                {
                    a[i] = t;
                    p[i] = pos;
                    break;
                }
                else if(pos > p[i])
                {
                    swap(pos, p[i]);
                    swap(t, a[i]);
                }
                t ^= a[i];
            }
        }
        if(t == 0)flag = true;
        return t;
    }
    bool query(type t)
    {
        // 詢問t是否能夠被當前線性基表示，不插入
        if(t > queryMax())return false;
        if(t == 0)return true;
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            if(t & (1ll << i))
            {
                if(!a[i])
                {
                    return false;
                }
                t ^= a[i];
            }
        }
        return true;
    }
    void Insert(type t)
    {
        //插入一個線性基，利用高斯消元法維護一個對角矩陣
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            if(t >> i & 1)
            {
                if(a[i])t ^= a[i];
                else
                {
                    a[i] = t;
                    for(int j = i - 1; j >= 0; --j)if(a[j] && (a[i] >> j & 1))a[i] ^= a[j];
                    for(int j = i + 1; j <= maxbase; ++j)if(a[j] >> j & 1)a[j] ^= a[i];
                    break;
                }
            }
        }
    }
    LinearBasis merge(const LinearBasis &l1, const LinearBasis &l2)
    {
        // 獲得兩個線性基的並
        LinearBasis ret = l1;
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
            if(l2.a[i])
                ret.insert(l2.a[i]);
        return ret;
    }
    LinearBasis intersection(const LinearBasis &l1, const LinearBasis &l2)
    {
        //獲得兩個線性基的交
        LinearBasis all, ret, full;
        ret.clear();
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            all.a[i] = l1.a[i];
            full.a[i] = 1ll << i;
        }
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
        {
            if(l2.a[i])
            {
                type v = l2.a[i], k = 0;
                bool flag = true;
                for(int j = maxbase; j >= 0; --j)
                {
                    if(v & (1ll << j))
                    {
                        if(all.a[j])
                        {
                            v ^= all.a[j];
                            k ^= full.a[j];
                        }
                        else
                        {
                            // l2's basis is not in l1's;
                            flag = false;
                            all.a[j] = v;
                            full.a[j] = k;
                            break;
                        }
                    }
                }
                if(flag)
                {
                    type v = 0; // get intersection by k;
                    for(int j = maxbase; j >= 0; --j)
                    {
                        if(k & (1ll << j))
                        {
                            v ^= l1.a[j];
                        }
                    }
                    ret.insert(v);  //save ans
                }
            }
        }
        return ret;
    }
    //詢問最值
    type queryMax()
    {
        type ret = 0;
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
            if((ret ^ a[i]) > ret)
                ret ^= a[i];
        return ret;
    }
    type queryMax(type l)
    {
        type ret = 0;
        for(int i = maxbase; i >= 0; --i)
            if((ret ^ a[i]) > ret && l <= p[i])
                ret ^= a[i];
        return ret;
    }
    type queryMin()
    {
        for(int i = 0; i <= maxbase; ++i)
            if(a[i])
                return a[i];
        return 0;
    }
}lb[maxn];
int main()
{
    // double pp = clock();
    // freopen("233.in", "r", stdin);
    // freopen("233.out", "w", stdout);
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
  
    int t; cin >> t;
    while(t--)
    {
        int n, m;
        cin >> n >> m;
        ll x;
        for(int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            cin >> x;
            lb[i] = lb[i - 1]; 
            lb[i].insert2(x, i);
        }
        int op;
        ll lstans = 0;
        while(m--)
        {
            cin >> op;
            if(!op)
            {
                ll l, r;cin >> l >> r;
                l = (l ^ lstans) % n + 1;
                r = (r ^ lstans) % n + 1;
                if(l > r)swap(l, r);
                lstans = lb[r].queryMax(l);
                cout << lstans << endl;
            }
            else
            {
                ll x;cin >> x;
                x ^= lstans;
                lb[++n] = lb[n - 1];
                lb[n].insert2(x, n);
            }
            
        }

    }
      
    // cout << endl << (clock() - pp) / CLOCKS_PER_SEC << endl;
    return 0;
}