線性代數學習筆記

一：線性方程組

*線性方程組的基本問題：

1.如何判別線性方程組是否有解？

2.當線性方程組有解時，如何斷定其解是否惟一？

3.如何求出有解線性方程組的解？                              

線性方程組的初等變換：

1.互換第i個方程與第j個方程的位置

2.方程組中第i個方程乘以非零常數h

3.第i個方程的k倍加到第j個方程上

*解線性方程組的方法：消元法

 通解：方程組有無窮多個解時，對全部解的描述稱爲方程組的通解。通解中必定包含任意常數（c）

*線性方程組的一下幾個事實：

1.方程組做爲總體運算

2.未知數不參與運算

3.M x N線性方程組與m個有序數組一一對應

定 理 1：若是對線性方程組(L1)做有限次初等變換得方程組(L2),則方程組(L1) 與方程組 (L2) 是同解的

 

二：矩陣

實矩陣：元素都是實數的矩陣

行矩陣：1*n

列矩陣：n*1

1*1矩陣A=(a)等同於數a

零矩陣：元素都爲0

*與線性方程組有關的矩陣：

1.係數矩陣

2.未知數構成的列矩陣

3.常數構成的列矩陣

4.增廣矩陣

*矩陣的初等行變換：

1.互換第i行與第j行  Ri <-> Rj

2.第i行乘以非零常數h  hRi

3.第i行的k倍加到第j行  kRi + Rj

階梯型矩陣（T）：

定理2：對任意矩陣A存在階梯型矩陣T，使得A與T是行等價的。（A能夠經有限次初等行變換華爲階梯型）

T的主元：非零函數的第一個非零元1；

說明：T的主元個數等於其非零行個數，任意矩陣都存在其階梯型矩陣

*矩陣的階梯型不是惟一的，非零行的個數是惟一的

秩：矩陣A的非零行個數，記做r(A)

秩的性質：不大於其行數，也不大於其列數，即r<min{m,n}

簡化階梯型矩陣：

定義：階梯型矩陣T的主元所在列只有一個非零元

定理3：矩陣的階梯型的非零行的個數是惟一的

定理4：對任意矩陣A ，存在簡化階梯型矩陣，使得A與T是行等價的（或者A能夠通過有限次初等行變換華爲簡化階梯型矩陣T，T稱爲A的簡化階梯型矩陣）

*任意矩陣的簡化階梯型是惟一的

關於線性方程組的基本定理：

 *用增廣矩陣的簡化階梯型研究現行方程組的性質

*T的主元所在列對應的未知數稱爲主元未知數，其他的未知數稱爲自由未知數

根據∂=1或∂=0分兩種狀況討論方程組：

狀況1：∂=1這等價於r(A)<r(A, β)   

方程組第r+1個方程爲0=1，方程組無解

狀況2：∂=0這等價於r(A)=r(A, β)

當r(A)=r(A, β)=n,方程組有惟一解

當r(A)<r(A, β),方程組有無窮多個解

定理5：設 (L1) , 是 m* n 線性方程組，A是（L1）的係數矩陣, 咱們有以下結論:

(1)方程組(L1)有解的充分必要條件是

r(A)=r(A, β) 

(2)方程組(L1)有解而且解惟一的充分必要條件是

r(A)=r(A, β)=n

進一步地,

A是 (L1)的係數

當(L1) , 的解不惟一時 (L1) . 有無窮多個解

齊次線性方程組：

定義：常數項都爲0的線性方程組，必定有解

定理6：若是m*n齊次線性方程組（H1）的係數矩陣爲A，那麼（H1）有非零解的充分必要條件是r(A)<n

矩陣的線性運算：

矩陣的加法：C=A+B

矩陣的數乘：B=kA

矩陣的乘法運算：

說明：只有A的列數等於B的行數，A與B的乘積纔有意義；AB繼承了A的行數，B的列數

線性方程組的矩陣表達形式：

1.Ax=β

2.x₁a₁+x₂a₂+….+x_na_n=β

3.有1,2可得x₁a₁+x₂a₂+….+x_na_n =AX

性質：矩陣乘法不知足交換律和消去律

方陣：

定義：行數和列數相等的矩陣稱爲方陣；行數和列數都爲n的方陣稱爲n階矩陣或n階方陣

單位矩陣：對角元都等於1，其餘元素都等於零的方陣。N階單位矩陣記做I_n

性質：

1.s，t非負：A^sA^t=A^s+t,(A^s)^t=A^st

2.A,B是同階方陣，m是正整數，若是AB=BA，則（AB）^m=A^mB^m

方陣的多項式：

F(x)=a₀X^m+a₁X^m-1…..a_mX⁰

對於方陣A，方陣A的多項式爲：

F(A)=a₀A^m+a₁A^m-1…..a_mA⁰

性質：若f(x)=g(x)h(x),則f(A)=g(A)h(A)

矩陣的轉置：

 性質：

(A^T)^T=A

(A+B)^T = A^T+B^T

(kA)^T=kA^T

(AB)^T=B^TA^T

初等矩陣：

 矩陣的初等列變換

1.互換第i列與第j列 

2.第i列乘以非零常數h 

3.第i列的k倍加到第j列 

N階初等矩陣：對n階單位矩陣I_n作一次初等變換獲得的矩陣

三種初等矩陣：

1.互換單位矩陣的兩行或兩列

2.用非零常數乘以單位矩陣的某行過某列

3.單位矩陣的某行（列）的常數倍加到另外一行（列）

*初等矩陣的轉置是同種類型的初等矩陣

初等矩陣的應用：

引理1：若是互換A的第i，j兩行獲得矩陣B，那麼B=E_m(i<->j)A

引理2：若是互換A的第i，j兩列獲得矩陣C，那麼C= A E_m(i<->j)

引理3：若是A的第i行乘以非零常數h得矩陣B，那麼B= E_m(i(h))A

引理4：若是A的第i列乘以非零常數h得矩陣C，那麼C= A E_m(i(h))

引理5：若是A的第i行的k倍加到第j行得矩陣B，那麼B= E_m(i(k)->j)A

引理6：若是A的第i列的k倍加到第j列得矩陣C，那麼B= A E_m(i(k)->j)

 

定理1：設A是m*n矩陣，若是對A做一次初等行變換得矩陣B，相同的初等行變換做用到m階單位矩陣得初等矩陣p，則B=PA；若是對A做一次初等列變換得矩陣C，相同的初等行變換做用到n階單位矩陣得初等矩陣Q，則C=AQ；

反過來，若是存在初等矩陣p，是的PA=B，那麼A做一次適當的初等行變換可得B；若是存在初等矩陣Q，使得AQ=C，那麼對A做一次適當的初等列變換可得C

 

命題：若是P是初等矩陣，那麼存在通解初等矩陣Q,使得PQ=QP=I；

推論1：n階初等矩陣P與單位矩陣I_n是行等價的，故有r(P)=n

推論2：吐過矩陣A與B是行等價的，則B與A也是行等價的

 

命題：若是矩陣A與B是行等價的，則AC與BC也是行等價的

矩陣的秩：

引理7：若是矩陣A與B是行等價的，則A與B的非零列個數相等；若是矩陣A與C是列等價的，則A與C的非零行個數相等

命題7：矩陣A的秩不大於A的非零行個數，也不大於A的非零列個數

引理8：若是矩陣A與B是等價的，則r（A）=r（B）(B的階梯型也是A的階梯型)

引理9：若是對矩陣A作一次初等列變換得

定理2：若是矩陣A與B是等價的，則r(A)=r(B)

 定理3：m*n矩陣A的秩爲r的充分必要條件是A等價於以下形式m*n矩陣         

命題8：r(A)=r(A^T)

定理4：r(AB)<=min{r(A),r(B)}

推論：若是m個矩陣A₁，A₂….A_m的乘積有意義，則r(A₁A₂…A_m)<=min{r(A₁),…r(A_m)}

定理5：設A爲n階矩陣，若是r(A)=n，則A能夠表示爲有限個n階初等矩陣的乘積

可逆矩陣：

定義：設A是n階矩陣，若是存在n階矩陣B，使得AB=BA=I_n，則稱A是可逆矩陣，稱B爲A的逆矩陣，不是可逆矩陣稱爲不可逆矩陣，A的可逆矩陣記做A^-1

性質6：

1.若是A是可逆矩陣，那麼A的逆矩陣是惟一的

2.若是A是可逆的，則A^-1 也是可逆的，而且(A^-1)^-1=A

3.若是k爲非零常數，A爲可逆矩陣，那麼kA也是可逆矩陣，而且(kA)^-1=k^-1A^-1

4.若是A，B爲同階可逆矩陣，則AB也是可逆矩陣，而且(AB)^-1=B^-1A^-1

5.若是A是可逆的，那麼AT也是可逆的，而且(A^T)^-1=(A^-1)^T

6.初等矩陣是可逆的，而且初等矩陣的逆矩陣仍然是初等矩陣

引理10：若是A是n階可逆矩陣，那麼r(A)=n

引理11：有限個同階初等矩陣的乘積是可逆矩陣

定理6：設A爲n階矩陣，下列論斷彼此等價：

1.A是可逆矩陣

2.r(a)=n

3.A能夠表示爲有限個n階初等矩陣的乘積

證實方式：循環論證

1 =>(引理10) 2 =>(定理5) 3 =>(引理11) 1

推論1：設A，B都是n階矩陣，若是乘積AB是可逆的，則A與B都是可逆的

推論2：設A是n階矩陣，而且線性方程組AX=β有解，AX=β的解惟一的充分必要條件是A爲可逆矩陣。當A可逆時，AX=β的惟一解爲X=A^-1β.設A是n階矩陣，齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是A爲不可逆矩陣

推論3：設A是m*n矩陣，若是p是m階可逆矩陣，Q是n階可逆矩陣，那麼：

r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

推論4：m*n矩陣A的秩爲r的充分必要條件是存在m階可逆矩陣p和n階可逆矩陣Q，使得PAQ=K_r(m,n)

可逆矩陣的求法：

*用初等行變換求可逆矩陣的逆矩陣:

設A是n階可逆矩陣

1.構造n*(2n)矩陣(A,I_n);

2.用初等行變換將(A,I_n)化爲簡化階梯型(I_n，A^-1)

3.寫出A的逆矩陣A^-1

分塊矩陣：

加法：數乘：乘法：轉置原理都同樣

定理7：若是A是m階可逆矩陣，D是n*t階矩陣，那麼下列3個等式成立：

 

 

幾種常見的特殊方陣：

對稱矩陣與反對稱矩陣：設A是方陣，若是A^T=A，則稱A爲對稱矩陣；若是A^T=-A，則稱A爲反對稱矩陣

命題9：若是A是方陣，則A+A^T是對稱矩陣，A-A^T是反對稱矩陣

命題10：若是A是方陣，則A能夠表示爲一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣之和

對角矩陣：設A是方陣，若是A的對角線之外的元素都爲零，則稱A爲對角矩陣

數量矩陣：對角元都相等的對角矩陣，對角元的值都爲1的對角矩陣稱爲單位矩陣

命題11：對角矩陣的秩等於其非零對角元的個數，所以對角矩陣A=diag（a1,a2…an）爲可逆矩陣的充分必要條件是其對角元都不爲零

準對角矩陣：設A是方陣，若是對A的行和列做相同的個、劃分，獲得的分塊矩陣中，對角線之外的塊都爲零。

命題12：準對角矩陣爲可逆矩陣的充分必要條件是其對角快都是可逆的

上三角與下三角矩陣：設A是方陣，若是A的對角線如下（上）的元素都爲零，則稱A爲上（下）三角矩陣

命題13：上三角矩陣的轉置爲下三角矩陣；下三角矩陣的轉置爲上三角矩陣

定理8：上（下）三角矩陣爲可逆矩陣的充分必要條件是它的對角元都不爲零，可逆上（下）三角矩陣的逆矩陣仍然是上（下）三角矩陣

命題14：上（下）三角矩陣的秩不小於其非零對角元的個數

 

矩陣論創始人：阿瑟凱萊

三：向量

向量與向量空間：

F：實數集或複數集

N元向量：設a₁,a₂,….a_n屬於F。列矩陣（a₁,a₂…..a_n）^T稱爲F上的n元向量

實向量：元素都爲實數的向量

零向量：n個零構成的向量

份量：向量中的元素

Fⁿ：F上全部n元向量構成的集合

向量的線性運算：加法，數乘

         向量的線性運算構成了矩陣的線性運算的性質

向量空間：設V是Fn上的非空子集，若是①對於任意的α,β∈V，都有α+β∈V，②對任意的k∈F，α∈V都有kα∈V；

①V對向量的加法封閉；②V對數與向量的乘法封閉，

向量空間的子空間：

子空間：設V是F上的向量空間，W是V的非空子集，W也是F上的向量空間

命題1：若是V1，V2是F上的向量空間V的子空間，那麼①V1與V2的交V1∩V2是V的子空間；②V1+V2={α+β：α∈V1，β∈V2}是V的子空間，稱爲V1和V2的和

線性組合：設a1,a2…at是F上的向量空間V中的一組向量，對F中的任意常數k1,k2,…kt,表達式k1a1+k2a2+…ktat稱爲a1,a2…an的線性組合。

命題2：L(a1,a2…at)是V的子空間

生成子空間：L(a1,a2…at)稱爲由V中向量組a1,a2…at生成V的子空間

與矩陣有關的向量空間：

解向量：設A是F上的m*n矩陣，F上的線性方程組AX=β的解X是Fn中的一個向量，稱爲AX=β的解向量

N（A）：稱爲A的零空間，或者稱爲齊次線性方程組AX=0的解空間

命題3：N（A）是F上的向量空間

由A的列構成的向量組：設A=（aij）是F上的m*n矩陣，將A的n個列記做a1，a2…an;a1，a2…an∈F^m稱爲由A的列構成的向量組

A的列空間（A的值域）：A的n個列構成的向量組a1,a2,…an生成的F^m的子空間L(a1,a2…an)稱爲A的列空間，也稱爲A的值域，記做R（A）

由A的行構成的向量組：將A的m個行記做b1，b2…bn;b1，b2…bn∈Fⁿ稱爲由A的行構成的向量組

A的行空間（A的值域）：A的行構成的向量組b1，b2…bn生成的Fⁿ的子空間L(b1，b2…bn)稱爲A的行空間，記做R（A^T）

按列構成的矩陣：設a1,a2…at是Fn中的向量組。n*t矩陣(a1,a2…at)稱爲由向量組

a1,a2…at按列構成的矩陣

按行構成的矩陣：t*n矩陣稱爲a1,a2…at按行構成的矩陣

向量組的線性相關與線性無關：

定義：設a1,a2…at是Fn中的向量組，若是存在不全爲零的常數k1,k2…kt∈F,使得k1a1+k2a2….ktat=0;則稱a1,a2…at是線性相關的，不然是線性無關的

命題4：向量組a1,a2…at線性相關的充分必要條件是齊次線性方程組AX=0有非零解。（即就k的解）

向量由向量組的線性表示：

線性表示：設a1,a2…at是Fn中的向量組。若是β∈Fn可以表示爲a1,a2….at的線性組合，即存在F中常數k1,k2,….kt,使得β=k1a1+k2a2….ktat,則稱向量β可由向量組a1,a2,….at線性表示

命題5：設向量a1,a2,….at, β∈Fn。向量β可由向量組a1,a2,….at線性表示的充分必要條件是線性方程組x1a1+x2a2+….+xtat=β有解

定理1：Fn中向量組a1,a2…at(t>=2)線性相關的充分必要條件是向量組a1,a2…at中至少存在一個向量可由其他向量線性表示

定理2：若是Fn中的向量組a1,a2…at，β線性相關，那麼向量β能夠由a1,a2…at線性表示，而且表示的方法是惟一的

向量組的線性表示：

線性表示：設a1,a2….as與b1,b2…bt是Fn中的兩個向量組。若是a1,a2,….as中的每一個向量均可由b1,b2…bt線性表示，則稱a1,a2…as可由b1,b2…bt線性表示

命題6：設a1,a2….at是Fn中的向量組,a1,a2…at中部分向量構成的向量組可由a1,a2….at線性表示

定理3：設a1,a2….as與b1,b2…bt是Fn中的兩個向量組，那麼下列結論成立：

①a1,a2…as可由b1,b2…bt線性表示的充分必要條件是存在t*s矩陣C使得（a1,a2…as）=（b1,b2…bt）C

②設（a1,a2…as）=（b1,b2…bt）C。若是b1,b2…bt是線性無關的，則C是惟一的；若是a1,a2…as是線性無關的，則r(C)=s

推論1:設a1,a2….as與b1,b2…bt是Fn中的兩個向量組，若是設a1,a2….as可由b1,b2…bt 線性表示，而且a1,a2…as線性無關，那麼s<=t

推論2：若是向量組a1,a2….as可由b1,b2…bt線性表示，b1,b2…bt可由r1,r2….ru線性表示，那麼a1,a2…as可由r1,r2….ru線性表示

向量組的等價：

定義：設a1,a2…as與b1,b2,bt是Fn中的兩個向量組，若是a1,a2…as可由b1,b2….bt線性表示，b1,b2…bt也能夠由a1,a2,….as線性表示，那麼稱a1,a2…as與b1,b2…bt等價

命題7:向量組等價知足①對稱性②傳遞性

引理1：a1,a2…as與b1,b2…bt是Fn中的兩個向量組。若是a1,a2…as可由b1,b2…bt線性表示，那麼L（a1,a2…as）包含於L（b1,b2…bt）

命題8：若是a1,a2…as與b1,b2…bt是Fn中的兩個向量組，那麼{a1,a2…as}等價於{b1,b2…bt}的充分必要條件是L（a1,a2…as）=L（b1,b2…bt）

向量組的秩：

極大線性無關組：設a1,a2….at是Fn中的一個向量組，ai1,ai2…air是a1,a2…at中的部分向量構成的向量組。若是

①ai1,ai2…air是線性無關的

②②對a1,a2…at中的任意向量ak,向量組ai1,ai2…air,ak都是線性相關的，那麼稱ai1,ai2..air是a1,a2…ak的極大線性無關組，簡稱極大無關組

命題9：若是ai1,ai2…air是a1,a2…at的極大無關組，那麼a1,a2…at中的任意向量ak均可由ai1,ai2…air線性表示

命題10：向量組和它的極大無關組是等價的（命題6和命題9）

命題11：想狼族a1,a2…at的極大無關組中向量的個數是惟一的

向量組的秩：向量組a1,a2…at的極大無關組中向量的個數稱爲向量組的秩，記做r{a1,a2…at}

命題12：向量組的秩爲r的充分必要條件是

①向量組中存在r個線性無關的向量

②向量組中任意r+1個向量（若是存在的話）都是線性相關的

命題13：向量組a1,a2…at線性相關的充分必要條件是r{a1,a2…at}<t

定理4：若是向量組a1,a2..as可由向量組b1,b2…bt線性表示，那麼r{a1,a2….as}<=r{b1,b2…bt}

推論1：等價的向量組的秩相等

推論2：部分向量構成的向量組的秩<=向量組的秩

矩陣的秩與向量組的秩之間的關係：

引理2：若是對F上的m*n矩陣A做一次初等行變換得B，那麼A的行構成的向量組與B的行構成的向量組等價

定理5：若是F上的m*n矩陣A與B是行等價的，那麼①A的行構成的向量組b1,b2…bm與B的行構成的向量組r1,r2…rm等價②A的行空間與B的行空間相等，即R(A^T)=R(B^T)

引理3：若是T是簡化階梯型矩陣，那麼T的秩等於它的行構成的向量組的秩，也等於它的列構成向量組的秩

定理6：F上的m*n矩陣A的秩等於它的行構成的向量組的秩，也等於它列構成向量組的秩

推論：方陣A可逆的充分必要條件是A的行（列）向量組線性無關

向量的基與維數：

基：設Fn的非空子集V是F上的向量空間，若是V中的（有序）向量組a1,a2…am知足：①a1,a2…am線性無關②V中的向量均可由a1,a2…am線性表示，那麼稱向量組a1,a2…am是V的一個基

命題14：若是a1,a2…am與b1,b2…bt都是向量空間V的基，則稱m=t

維數：F上的向量空間V中的基中向量的個數稱爲V的維數，記做dimV

定理7：F上的m維向量 空間V中的任意m個線性無關向量a1,a2…am都是V的一個基，而且V=L(a1,a2…am)

命題15：若是V是F上的向量空間，a1,a2…as是V中的一個向量組，那麼a1,a2…as的極大無關組是L(a1,a2…as)的一個基

命題16：若是正整數s<m，那麼m維向量空間V中的任意s個線性無關向量a1,a2…as均可以擴充爲V的基a1,a2…as,as+1,….,am.

向量關於基的座標：設V是F上的m維向量 空間，a1,a2…am是V的一個基，對任意的a屬於V，存在惟一一組常數x1,x2…xm,使得a=x1a1+x2a2+…+xmam.表達式中的常數x1,x2…xm稱爲向量a關於基a1,a2…am的座標，xi是向量a關於基的第i個座標

基變換與座標變換：

 過分矩陣：設a1,a2…am與b1,b2…bm是F上的m維向量空間V的兩個基，將  b1,b2,…bm表示爲a1,a2,…am的線性組合，其矩陣形式爲（b1,b2…bm）=（a1,a2…am） A,其中A稱爲a1,a2…am到基b1,b2…bm的過分矩陣

定理8：若是V是F上的m維向量空間，那麼①V的基a1,a2…am到基b1,b2…bm的過渡矩陣A是惟一的②V的基a1,a2…am到基b1,b2…bm的過渡矩陣A是可逆的，而且A^-1是基b1,b2…bm到基a1,a2…am 的過渡矩陣

定理9：設a1,a2…am與b1,b2…bm是F上的m維向量空間V的兩個基，基a1,a2…am到基b1,b2…bm的過渡矩陣爲A。對於任意的r屬於V，若是r關於a1,a2…am的座標爲X=（x1,x2…xm）^T,r關於b1,b2…bm的座標爲Y=（y1,y2…ym）^T,那麼Y=A^-1X

座標變換公式：表達式Y=A^-1X稱爲向量r從基a1,a2…am到基b1,b2…bm的座標變換公式

齊次線性方程組的解的向量形式：

齊次線性方程組有非零解的條件：若是AX=0是F上的m*n齊次線性方程組，那麼下列論斷等價：①AX=0有非零解②r(A)<n③A的列向量組線性相關

定理10：若是F上的m*n矩陣A的秩爲r，則齊次線性方程組AX=0的解空間N(A)的維數爲n-r.

推論：設A是F上的m*n矩陣，則A的行空間R（A^T）的維數與零空間的N（A）的維數知足：dimR(A^T)+dimN(A)=n

基礎解系：齊次線性方程組AX=0的解空間的基稱爲方程組的基礎解系

非齊次線性方程組的解的向量形式：

非齊次向量方程組有解的條件：設A是F上的m*n矩陣，a1,a2…an是A的列向量組，那麼下列論斷等價：①線性方程組AX=β有解②r(A)=r(A, β)③β∈R(A)=L(a1,a2…an)④{a1,a2…an}等價於{a1,a2…an, β}

定義：齊次線性方程組AX=0稱爲非齊次線性方程組AX=β的導出方程組

引理4:若是r1,r2都是線性方程組AX=β的解，那麼ξ=r1-r2是其導出方程組AX=0的解

引理5：若是r是線性方程組AX=β的解，ξ是其導出方程組AX=0的解，則r+ξ是AX=β的解

通解：設F上的m*n線性方程組AX=β有無窮多個解，即r（A）=r(A+B)<n。設γ₀

是AX=β的一個特解，ξ1，ξ2…ξt是其導出方程組AX=0的一個基礎解系。若是γ是AX=β的解，則存在c1,c2…ct∈F，使得γ=γ0+c1γ1+c2γ2…ctγt.進一步地，當c1,c2…ct爲F中任意常數時，γ=γ0+c1γ1+c2γ2…ctγt.是線性方程組的通解。

實向量的內積與正交：

內積：對任意的a=(a1,a2…an)^T,b=(b1,b2….bn)^T ∈Rn,下列實數a^Tb=a1b1+a2b2…anbn稱爲a與b的內積，記做（a,b）

性質2：對任意a,b,r∈Rn，k∈R，咱們有①（a,b）=(b,a)②（a+b,r）=(a,r)+(b,r)③（ka,b）=k(a,b)④（a,a）>=0,而且(a,a)=0當且僅當a=0.

單位向量：|a|=1

定理12：對任意的a,b∈Rn,咱們有|（a,b）|<=|a|*|b|  柯西不等式

正交：設a,b屬於Rn，若是（a,b）=0,則稱a與b正交。零向量與任意向量正交

命題17：對任意的a,b∈Rn，咱們有①|a+b|<=|a|+|b|;(三角不等式)②若是a與b正交，則|a+b|²=|a|²+|b|²  (勾股定理)

規範正交向量組：

正交向量組：設a1,a2…at都是向量空間Rn中的非零向量，若是向量組a1,a2…at中的向量兩兩正交，則稱a1,a2…at爲Rn中的正交向量組

規範正交向量組：若是正交向量組a1,a2…at中的向量都是單位向量，則稱a1,a2…at爲規範正交向量組。約定：只含一個非零向量的向量組是正交向量組

命題18：若是a1,a2…at是向量空間Rn中的正交向量組，則a1,a2..at是線性無關的

定理13：設V包含於Rn是R上的向量空間，若是a1,a2…at是V中的線性無關向量組，那麼存在V中正交向量組b1,b2…bt使得{a1,a2…as}等價於{b1,b2…bs},s=1,2….t

定理14：：設V包含於Rn是R上的向量空間，若是a1,a2…at是V中的線性無關向量組，V中存在規範正交向量組η1，η2…ηt使得{a1,a2…as}等價於{η1，η2…ηs},s=1,2….t

規範正交基：

正交基：設V包含於Rn是R上的向量空間，a1,a2…at是V的基，若是a1,a2…am是正交向量組，則稱爲V的正交基

規範正交基：若是a2,a2,am是規範正交向量組，則稱爲V的規範正交基

定理15：R上的m維向量空間V中必定存在規範正交基

命題19：若是a1,a2…am是R上的向量空間V的規範正交基，則V中任意向量b在基a1,a2…am下的座標爲(b,a1),(b,a2)…(b,am),即b=(b,a1)a1+(b,a2)a2+…(b,am)am

四：行列式

二階行列式：

定義：由二階矩陣A矩陣決定的表達式a11a22-a12a21稱爲A的行列式，記做detA=|A|=a11a22-a12a21,二階矩陣的行列式稱爲二階行列式

 二階行列式的性質：

                   性質1：若是互換A的兩列得B，則|B|=-|A|

                   推論：若是A的兩列相等，則|A|=0

                   性質2：若是A的某列乘以常數k得B，則|B|=k|A|

                   推論1：若是A含有0列，則|A|=0

                   推論2：若是k是常數，則det(kA)=k²detA

                   推論3：若是A的兩列對應元素成比例，則|A|=0

                   性質3：

 

                   性質4：若是A的某列的k倍加到兩一列得矩陣B，那麼|B|=|A|

                   性質5：|A^T|=|A|

 N階行列式的定義：

餘子陣：對於n階行列式A，劃去A的一元aij所在的第i行和第j列，剩下的元素按原來位置排成的n-1階矩陣Mij，稱爲aij在A中的餘子陣

餘子式：|Mij|稱爲aij在A中的餘子式

代數餘子式：A_ij=（-1）^i+j|M_ij|稱爲aij在A中的代數餘子式

N階行列式：A的行列式定義爲a11A11+a22A22+….a1nA1n=∑a1jA1j，記做detA或|A|

行列式的性質：

                   性質6：若是互換n階矩陣A的第s,t兩列獲得的矩陣爲B，那麼detB=-detA

                   推論：若是n階矩陣A有兩列相等，則detA=0

                   性質7：若是n階矩陣A的第t列乘以常數c得矩陣B，則detB=c*detA

                   推論1：若是n階矩陣A含有0列，則detA=0

                   推論2：若是n階矩陣A中有兩列對應元素成比例，則detA=0

                   推論3：若是A是n階矩陣，c是常數，則det(cA)=cⁿdetA

性質8：設n階矩陣A的第t列的元素都是兩數之和，A，B，C這三個矩陣只有第t列不相等，其他列都相等，而且B與C的第t列之和等於A的第t列，那麼|A|=|B|+|C|

性質9：若是n階矩陣A的第t列的k倍加到第s列獲得的矩陣爲B，那麼detB=detA

行列式非零矩陣：

定義：設A是n階矩陣，若是detA≠0,則稱A是非奇異的，若是detA=0,則稱A是奇異的

引理1：初等矩陣是非奇異的，而且detEn(i<->j)=-1;detEn(i(h))=h(h≠0);detEn(i(k)->j)=1;

                   引理2：若是A是n階矩陣，Q是n階初等矩陣，那麼det(AQ)=detA*detQ

                   引理3：n階矩陣A是非奇異的當且僅當A的秩爲n

                   定理1：若是A是n階矩陣，那麼下列論斷等價：

①A是非奇異的

②A的秩爲n

③A是可逆的

④A的列（行）向量組是線性相關的

⑤齊次線性方程組AX=0只有零解

⑥非齊次線性方程組AX=β有惟一解

定理2：若是A,B是兩個n階矩陣，那麼det(AB)=detA*detB

推論1：若是A1,A2…As都是n階矩陣，則det(A1A2…As)=(detA1)(detA2)…(detAs)

推論2：若是A是可逆矩陣，則det(A^-1)=det(A)^-1

方陣的轉置的行列式：

引理4：若是p是初等矩陣，則det(P^T)=detP

性質10：若是A是n階矩陣，則det(A^T)=detA

按任意一行（列）展開行列式：

引理5：設n>=2,A=(aij)是n階矩陣，A的行列式等於A的任意一行的各元素與其對應的代數餘子式乘積之和：

                            detA=ai1Ai1+ai2Ai2…+ainAin

引理6：設A=（aij）是n>=2階矩陣，A的行列式等於A的任意一列的各元素與其對應的代數餘子式乘積之和：

         detA=a1iA1u+a2iA2i…+aniAni

引理7：設A=（aij）是n>=2階矩陣，若是h,i∈{1,2…n},h≠i，那麼，A的第h行的各元素與第i行的對應的元素的代數餘子式乘積之和等於0，即：

         ah1Ai1+ah2Ai2+….ahnAin=0

引理8：設A=（aij）是n>=2階矩陣，若是j,k∈{1,2…n}，j≠k,那麼，A的第j列的各元素與第k列的對應元素的代數餘子式乘積之和等於0，即：

         a1jA1k+a2jA2k+….anjAnk=0

定理3：設n>=2.若是A=（aij）是n階矩陣，那麼

         ah1Ai1+ah2Ai2+….ahnAin={|A|，若是h=i;0,若是h≠i}

         a1jA1k+a2jA2k+….anjAnk={|A|,若是j=k;0,若是j≠k}

伴隨矩陣：

 

定理4：若是A是n階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，那麼AA*=A*A=|A|I_n

 

行列式在線性代數方面的應用：

子矩陣：A的一個子矩陣就是去掉A的一些行和列剩下的元素按原來的相對位置排成的矩陣

         子方陣：子矩陣的行與列相等的矩陣

         子式：A的子方陣的行列式稱爲A的一個子式

         定理5：矩陣A的秩等於A的非零子式的最大階數

         克萊姆法則：

 

 

 

行列式在幾何方面的應用：

         共線，共面  == 》  線性相關

 

         正交  == 》 垂直