簡單數論總結1——gcd與lcm

並不重要的前言

　　最近學習了一些數論知識，可是本身都不懂本身到底學了些什麼qwq，在這裏把知識一併總結起來。

也不是很難的gcd和lcm

 　　顯而易見的結論：

　　爲何呢？

　　根據惟一分解定理：

　　　　　　　　a和b均可被分解爲素因子的乘積，形如：

　　則顯而易見的有一下結論：

　

　

　　相乘，得：

　

　　得證

 

幾種求gcd的算法

1. 1. 　　歐幾里得算法（展轉相除法）
   2.      展轉相減法（優化：stein_gcd）　　

　　　　　　

　　　　　歐幾里得算法

　基於事實:

　　

　實現：

1 int gcd(int a, int b){
2   return (b == 0) ? a : gcd( b , a % b) ;          
3 }

　　簡短而容易實現和記憶，很是優美

　　可是可能會被斐波那契數列卡住，證實或者緣由鴿了回頭再寫

 

　　　　　　stein_gcd算法

　　stein_gcd本質上是對更相減損術的優化，下面進行簡單的介紹：

1. 　　若a,b都是偶數，則計算gcd(a/2,b/2)*2;  ————>由於都含有2的因數，因此同時除以2後gcd(a,b)變爲原來的1/2，再乘回去
2.        若a是偶數，b是奇數，則計算gcd(a/2,b);  ————>由於只有一個數含有2做爲因數，因此除以2後gcd(a,b)不變
3.        若a是奇數，b是偶數，則計算gcd(a,b/2);  ————>同2.
4.        若a是奇數，b是奇數，則計算gcd(abs(x-y),min(x,y)); ————>經過相減，使其變成偶數，原理參見更相減損術實際上是我懶得寫

 　　實現：

int stein_gcd(int x,int y){
  if(x==0)
    return y;
  if(y==0)
    return x;
  if(x%2==0&&y%2==0)
    return stein_gcd(x>>1,x>>1)*2;
  else if(x%2 ==0)
    return stein_gcd(x>>1,y);
  else if(y%2==0)
    return stein_gcd(x,y>>1);
  else
    return stein_gcd(abs(x-y),min(x,y));                                 
}

　　講到這裏，大概本期就結束了，至於沒涉及到的，就是鴿了下一期的事情了

　　至於下一次何時填坑，已經在作了逃