談談A*

最近忽然想到A*這個啓發式搜索，通常是用於求最短路徑的，可是感受對其估價函數還不是很清楚，其實問題也就落在了A*的有效性上面了。

參考：

http://liyanblog.cn/articles/2012/09/19/1348045903617.html

https://en.wikipedia.org/wiki/A*_search_algorithm

http://baike.baidu.com/link?url=UCU0dU7DIkhKx111EQcB2DZf28Z3do3JbEQfM-l-N8hfVaApT7RUGgVo93tIN-lQtovCst0TysYGG0rd-P2KhK

回到A*上面，其實看A*第一眼，就會感受就是一個BFS，就是在BFS的基礎上加了一個估價函數了，而這個估價函數就是A*的關鍵所在，由於A*並不像BFS一頓狂搜，它經過這個估價函數來指導下一次搜索應該走哪一個節點，哪條路徑。這樣的好處就是在大規模的搜索中，BFS的時間複雜度確定是讓人受不了的，而這時A*就可以派上用場了。

 

因此對A*就出現了兩個問題了：

1. 究竟什麼是估價函數

2. 估價函數怎麼求

 

1. 估價函數

其實估價函數仍是比較直觀，也沒怎麼繞。
定義估價函數f(x) = g(x) + h(x)

假設如今是要求A到B的路徑：
g(x): 表示從A到x的消耗，實際消耗。
h(x): 表示x到B的消耗，估計消耗。當選取的是實際的最小消耗的時效率最高了，而在如今通常K短路中就是先用SPFA等最短路算法求一下逆向最短路，而後把這個做爲h(x)進行下一步的K短路的求解了。

須要注意的是：其實這裏的消耗並不就是最短消耗或者實際消耗之類的，而是編程者給定的一個估計消耗。這裏選取的計算方式將會影響最終搜索的效率和正確與否，所以通常來講這裏消耗的選取與實際的消耗若是是正相關的話，應該就可以保證正確了。（我的見解，後面會有嚴格證實）

對於估價函數這裏，又會有兩個問題：時耗 和 正確性。

具體的時耗計算確定是與估價函數有關了，因此也會有一些狀況考慮，這裏就很少扯了，直接考慮下最差的時耗，那就是至關於估價函數沒有做用了，就是普通的BFS的消耗了。

正確性：究竟怎麼選取估價函數就是正確的，或者說是隨意選取呢？

首先能夠考慮一種極限狀況，假設咱們選取的h(x)就是實際的最短路的話，咱們能夠發現，估價函數 f(x) = g(x) + h(x)其實就是A經過x到達B的實際最短消耗，那麼咱們選取一個最小的估價值，就走那一個就可以保證是正確的了。

由於g(x)實際上是實際計算得出的消耗，所以這個咱們並非人爲隨意定的，能夠先不考慮，這時候咱們就須要關注下h(x)的選取了。

百度百科上面有一個說法：

估價值h(x)<= x到目標節點的實際消耗，這種狀況下，搜索的點數多，搜索範圍大，效率低。但能獲得最優解。
而且若是h(x)=d(x)，即距離估計h(x)等於最短距離，那麼搜索將嚴格沿着最短路徑進行， 此時的搜索效率是最高的。

若是 估價值>實際值,搜索的點數少，搜索範圍小，效率高，但不能保證獲得最優解。

首先不考慮這種說法究竟是正確與否，單純從這些條件去證實就比較困難了，由於實際消耗究竟是什麼咱們是不知道的，這就比較難說明這個是正確的了。

而Wiki上面有一個證實（圖片來在Wiki）：

 

這就很嚴謹了，這裏是 求 f到g的最短路。

假設條件知足： h( x ) <= d( x, y ) + h( y )，其中d(x, y)表示的是從任意x到其相鄰節點（就是有鏈接的節點）y的距離，而h(x)的含義仍是前面的從x到終點g的估計路徑了。

 

而上圖的推導就比較明顯了，能夠當作是從f出發了，而後就按照一條一條路徑走到最後的節點g了，也就是搜索的過程，這裏是假設L(P)是通過中途若干個點的最短路徑，那麼可以保證使用A*所求出來的路徑是應該都是小於等於實際的最短路徑的，那麼這時候A*是必定可以找到最短路的。

這時候咱們再回到百度百科上的說法，h(x)<= x到目標節點的實際消耗是可以找到最短路的，其實也是差很少一個意思。

其實咱們編程的時候關心的仍是究竟應該怎麼樣選取這個函數，由上面其實已經很明顯了，那就是足夠小就行，可以保證比實際對應的全部可能距離都小就Ok了，這仍是比較容易知足的，但這只是保證正確性，效率這方面仍是得仔細選取下。

 

2. 估價函數更新

直接用當前結點，對其周圍可能下一步走到的節點進行更新，主要就是更新f(x) = g(x) + h(x), g(x)是針對於上一結點的g(x)進行更新了，其他的就與上一個結點沒啥關係了。