算法評價和誤差分析

• 記號： x $x$表示測量值， x^ $\hat{x}$表示估計值， x¯ $\bar{x}$表示真值

• RMS(均方根)殘差
  

  εres=[12n∑i=1nd(x′i,x^′i)2]1/2 $${\epsilon }_{res}=[\frac{1}{2n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}d(x_i^{\prime },{\hat{x}}_i^{\prime }{)}^2{]}^{1/2}$$
  
  
  εres=[14n(∑i=1nd(x′i,x^′i)2+∑i=1nd(xi,x^i)2)]1/2 $${\epsilon }_{res}=[\frac{1}{4n}(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}d(x_i^{\prime },{\hat{x}}_i^{\prime }{)}^2+\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}d(x_i,{\hat{x}}_i{)}^2){]}^{1/2}$$

• 重要結論：考慮一個估計問題，其中N個測量由依賴於d個本質參數集的函數模型化，假定每個測量變量有標準差 σ $\sigma$的獨立高斯噪聲
  （1）ML估計算法的RMS殘差（測量值到估計值的距離）是
  

  εres==E[||X^−X||/N]1/2=σ(1−d/N)1/2 $${\epsilon }_{res}==E[||\hat{X}-X||/N{]}^{1/2}=\sigma (1-d/N{)}^{1/2}$$
  
  （2）ML估計算法的RMS估計誤差（測量值到真值的距離）是
  
  εest==E[||X^−X¯||/N]1/2=σ(d/N)1/2 $${\epsilon }_{est}==E[||\hat{X}-\bar{X}||/N{]}^{1/2}=\sigma (d/N{)}^{1/2}$$

• 單圖像誤差
  

  εres=σ(1−4/n)1/2 $${\epsilon }_{res}=\sigma (1-4/n{)}^{1/2}$$
  
  
  εest=σ(4/n)1/2 $${\epsilon }_{est}=\sigma (4/n{)}^{1/2}$$

• 重投影誤差
  

  εres=σ(n−42n)1/2 $${\epsilon }_{res}=\sigma (\frac{n-4}{2n}{)}^{1/2}$$
  
  
  εest=σ(n+42n)1/2 $${\epsilon }_{est}=\sigma (\frac{n+4}{2n}{)}^{1/2}$$

變換估計的協方差

• 協方差的前向傳播
  結論1：令 v $v$是 RM $R^M$中的一個具有均值 v¯ $\bar{v}$和協方差矩陣 Σ $\mathrm{\Sigma }$的隨機變量，假定 f:RM↦RN $f:R^M\mapsto R^N$是一個仿射映射：定義爲 f(v)=f(v¯)+A(v−v¯) $f(v)=f(\bar{v})+A(v-\bar{v})$。那麼 f(v) $f(v)$是一個具有均值 f(v¯) $f(\bar{v})$和協方差矩陣 AΣAT $A\mathrm{\Sigma }{A}^T$的隨機變量
  結論2：令 v $v$是 RM $R^M$中的一個具有均值 v¯ $\bar{v}$和協方差矩陣 Σ $\mathrm{\Sigma }$的隨機變量，假定 f:RM↦RN $f:R^M\mapsto R^N$在 v¯ $\bar{v}$的鄰域可微，那麼在精確到一階近似的程度。那麼 f(v) $f(v)$是一個具有均值 f(v¯) $f(\bar{v})$和協方差矩陣 JΣJT $J\mathrm{\Sigma }{J}^T$的隨機變量，其中 J $J$是 f $f$的雅可比矩陣在 v¯ $\bar{v}$的值。 v $v$方差越小，線性近似越精確

• 協方差的反向傳播
  仿射情形，令 f:RM↦RN $f:R^M\mapsto R^N$是形爲 f(P)=f(P¯)+J(P−P¯) $f(P)=f(\bar{P})+J(P-\bar{P})$的仿射映射，其中, J $J$的秩等於 M $M$。令 X $X$是 RN $R^N$中的一個具有均值 X¯=f(P¯) $\bar{X}=f(\bar{P})$和協方差矩陣 Σ $\mathrm{\Sigma }$的隨機變量。令 f−1oη:RN↦RM $f^{-1}o\eta :R^N\mapsto R^M$是一個映射，它把測量矢量 X $X$映射到對應於ML估計 X^ $\hat{X}$的參數矢量 P $P$。那麼 P¯=f−1oη(X) $\bar{P}=f^{-1}o\eta (X)$是一個具有均值 P¯ $\bar{P}$的隨機變量，其協方差矩陣是 ΣP=(JTΣ−1XJ)−1 ${\mathrm{\Sigma }}_P=(J^T{\mathrm{\Sigma }}_X^{-1}J{)}^{-1}$
  非線性情形，令 f:RM↦RN $f:R^M\mapsto R^N$是一個可微映射，而 J $J$是它在點 P¯ $\bar{P}$處的雅可比矩陣。假定 J $J$的秩等於 M $M$，則 f $f$在M↦RN $f:R^M\mapsto R^N$是一個可微映射，而 J $J$是它在點 P¯ $\bar{P}$處的雅可比矩陣。假定 J $J$的秩等於 M $M$，則 f $f$在