算法設計與分析——流水做業調度(動態規劃)

 

1、問題描述

N個做業{1,2,………,n}要在由兩臺機器M1和M2組成的流水線上完成加工。每一個做業加工的順序都是先在M1上加工,而後在M2上加工。M1和M2加工做業i所需的時間分別爲ai和bi,1≤i≤n。流水做業高度問題要求肯定這n個做業的最優加工順序,使得從第一個做業在機器M1上開始加工,到最後一個做業在機器M2上加工完成所需的時間最少。ios

2、算法思路

直觀上,一個最優調度應使機器M1沒有空閒時間,且機器M2的空閒時間最少。在通常狀況下,機器M2上會有機器空閒和做業積壓2種狀況。算法

最優調度應該是:函數

1. 使M1上的加工是無間斷的。即M1上的加工時間是全部ai之和,但M2上不必定是bi之和。spa

2. 使做業在兩臺機器上的加工次序是徹底相同的。3d

則得結論:僅需考慮在兩臺機上加工次序徹底相同的調度。code

設所有做業的集合爲N={1,2,…,n}。S是N的做業子集。在通常狀況下,機器M1開始加工S中做業時,機器M2還在加工其餘做業,要等時間t後纔可利用。將這種狀況下完成S中做業所需的最短期記爲T(S,t)。流水做業調度問題的最優值爲T(N,0)。   blog

這個T(S,t)該如何理解?舉個例子就好搞了(用ipad pencil寫的...沒貼類紙膜,太滑,湊合看吧)ip

 

一、最優子結構

T(N,0)=min{ai + T(N-{i}, bi)},  i∈N。ci

ai:選一個做業i先加工,在M1的加工時間。it

T(N-{i},bi}:剩下的做業要等bi時間後才能在M2上加工。注意這裏函數的定義,由於一開始工做i是隨機取的,M1加工完了ai以後,要開始加工bi了,這裏M1是空閒的能夠開始加工剩下的N-i個做業了,但此時M2開始加工bi,因此要等bi時間以後才能從新利用,對應到上面函數T(s,t)的定義的話,這裏就應該表示成T(N-{i},bi), 因此最優解可表示爲T(N,0)=min{ai + T(N-{i}, bi)},  i∈N,即咱們要枚舉全部的工做i,使這個式子取到最小值。

繼續分析T(S,t)可得:

   T(S,t)={ai + T(S-{i}, bi+max{t-ai,0})}, i∈S

其中:T(S-{i}, bi+max{t-ai,0}):剩下的做業等bi+max{t-ai,0}才能在M2加工,至於這裏是怎麼推導出來的呢?見下面推導:

二、最優子結構性質

 

這段證實不是很好理解,簡單來講就是要證實問題的最優解包含子問題的最優解就好了,那麼這裏的證實思路是先假設一個最優調度,對於他的子調度T’,由於T(S,t)被定義爲是完成S中做業所需的最短期記爲T(S,t),因此有T’>=T(S, bπ1),那麼若是這個子調度這裏不是最優解的話即T’>T(S, bπ1),會得出aπ1+T’ > aπ1+T(S, bπ1)即原來假設的最優調度不符和最優調度的標準,矛盾,從而推出 T’是必定等於T(S, bπ1),即這個子調度也是最優調度。

問題是雖然知足最優子結構性質,也在必定程度知足子問題重疊性質。N的每一個非空子集都計算一次,共2n-1次,指數級的。https://images2015.cnblogs.com/blog/1037219/201611/1037219-20161107104308389-1375519089.png

爲了解決這個問題引入Johnson不等式

三、Johnson不等式

 

 推導公式的最後兩步,做用是提出bi和aj,而後直接max三元素

 

 

四、算法描述

 

假設有下列的7個做業:

 

 

 

五、代碼演示

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
class JOB
{
public:
    int key,index;
    bool job;
};
bool cmp(JOB a,JOB b)
{
    return a.key<b.key;
}
int func(int n,int a[],int b[],int c[])
{
    int i,j,k;
    JOB *d =new JOB[n];
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        if(a[i]<b[i])
        {

            d[i].job =true;
            d[i].key =a[i];
        }
        else
        {
            d[i].job=false;
            d[i].key=b[i];
        }
        d[i].index=i;
    }
    sort(d,n+d,cmp);
    j=0,k=n-1;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        if(d[i].job ==true)
            c[j++]=d[i].index;
        else
            c[k--]=d[i].index;
    }
    j=a[c[0]];
    k=j+b[c[0]];
    for(i=1;i<n;i++)
    {
    j=j+a[c[i]];
    k= j<k ? k+b[c[i]] : j+b[c[i]] ;
    }
    delete d;
    return k;
}
int main()
{
    int i,n,m,a[100],b[100],c[100];
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        cin>>m;
        for(i=0;i<m;i++)
        {
            cin>>a[i];
            cin>>b[i];
        }
        cout<<func(m,a,b,c)<<endl;
    }
    return 0;
}
/*
1
7
5 2
3 4
6 7
4 2
8 9
9 7
6 3
*/

結果:43

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