算法設計與分析之動態規劃

今天剛剛學了動態規劃，把書上的代碼敲了一下，在此留下一筆。動態規劃與分治法相似，其基本思想也是將待求解問題分解成若干個子問題，先求解子問題，而後從這些子問題的解獲得原問題的解。在子問題的求解過程當中，有不少子問題被重複計算了。因而咱們能夠用一個表來記錄全部已解決的子問題的的答案。無論該問題之後是否被用到，只要它被計算過，就將其結果填入表中。這就是動態規劃的基本思想。

1、動態規劃的設計步驟：

（1)找出最優解的性質，並刻畫其結構特徵；

（2）遞歸地定義最優值；

（3）以自頂向下的方式計算出最優值；

（4）根據計算最優值時獲得的信息，構造最優解。

下面使用動態規劃來解決的是矩陣連乘問題。

 問題描述：給定n個矩陣：A1,A2,...,An，其中Ai與Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。肯定計算矩陣連乘積的計算次序，使得依這次序計算矩陣連乘積須要的數乘次數最少。輸入數據爲矩陣個數和每一個矩陣規模，輸出結果爲計算矩陣連乘積的計算次序和最少數乘次數。

第一步分析最優解的結構：

　　若將對應m[i][j]的斷開位置k記爲s[i][j]，在計算出最優值m[i][j]後，可遞歸地由s[i][j]構造出相應的最優解。s[i][j]中的數代表，計算矩陣鏈A[i:j]的最佳方式應在矩陣Ak和Ak+1之間斷開，即最優的加括號方式應爲(A[i:k])(A[k+1:j)。所以，從s[1][n]記錄的信息可知計算A[1:n]的最優加括號方式爲(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，進一步遞推，A[1:s[1][n]]的最優加括號方式爲(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理能夠肯定A[s[1][n]+1:n]的最優加括號方式在s[s[1][n]+1][n]處斷開...照此遞推下去，最終能夠肯定A[1:n]的最優徹底加括號方式，及構造出問題的一個最優解。

 

第二步、創建遞歸關係

 

 設計算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所須要的最少數乘次數m[i,j]，則原問題的最優值爲m[1,n]。

      當i=j時，A[i:j]=Ai，所以，m[i][i]=0，i=1,2,…,n
      當i<j時，若A[i:j]的最優次序在Ak和Ak+1之間斷開，i<=k<j,則：m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。因爲在計算是並不知道斷開點k的位置，因此k還未定。不過k的位置只有j-i個可能。所以，k是這j-i個位置使計算量達到最小的那個位置。

      綜上，有遞推關係以下：

          

 

 

 

第三步、計算最優解

 

 

 

最後代碼以下：

package algo.chapter3;

import java.io.Serializable;

/**
 * 矩陣相乘
 * @author Administrator
 *
 */
public class MatrixPlus {
    

    public static void matrixChain(int[] p,int [][]m,int [][]s)
    {
        int n = p.length-1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            m[i][i] = 0;
        for(int r=2;r<=n;r++)
            //對角線上循環的次數
            for(int i=1;i<=n-r+1;i++)
            {
                int j = i+r-1;
                m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];
                s[i][j] = i;
                for(int k=i+1;k<j;k++)
                {
                    int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
                    if(t < m[i][j])
                    {
                        m[i][j] = t;
                        //遞歸式，記錄k的位置
                        s[i][j] = k;
                    }
                }
            }
    }
    
    

    public static void traceback(int [][]s,int i,int j)
    {
        if(i == j)
            return;
        traceback(s,i,s[i][j]);
        traceback(s,s[i][j]+1,j);
        System.out.println("Multiply A"+i+"."+s[i][j]+
                "and A"+(s[i][j]+1)+"."+j);
    }
    
    //打印加括號的最優解方案
    public static void optimalParens(int [][]s,int i,int j)
    {
        if(i==j)
            System.out.print("(A"+i);
        else
        {
            optimalParens(s,i,s[i][j]);
            optimalParens(s,s[i][j]+1,j);
            System.out.print(")");
        }
    }
}

 

測試代碼：

package algo.chapter3.test;

import algo.chapter3.MatrixPlus;

public class MatrixTest {

    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        int [] p = {39,45,35,15,23,45,67,10,26,37};
        int n = p.length;
        //{{12,3,45,56},{2,4,6,23},{9,87,34,23},{23,45,56,56},{23,3,6,8}}
        int [][] m = new int[n][n];
        int [][] s = new int[n][n];
        MatrixPlus.matrixChain(p, m, s);
        System.out.println("該矩陣階乘子問題數乘的個數爲：");
        for(int i=1;i<m.length;i++)
        {
            for(int j=1;j<m.length;j++)
            {    
                if(i>j)
                {
                    System.out.print("----"+"\t");
                }
                else
                {
                    System.out.print(m[i][j]+"\t");
                }
            }
            System.out.println();
        }
        System.out.println();
        System.out.println("該矩陣階乘子問題數乘的個數爲：");
        for(int i=1;i<s.length;i++)
        {
            for(int j=1;j<s.length;j++)
            {    
                if(i>j)
                {
                    System.out.print("----"+"\t");
                }
                else
                {
                    System.out.print(s[i][j]+"\t");
                }
            }
            System.out.println();
        }
        
        System.out.println();
        System.out.println("該矩陣階乘的最優解爲：");
        MatrixPlus.traceback(s, 1, n-1);
        MatrixPlus.optimalParens(s, 1, n-1);
    }

}

最後的運行結果以下圖：

 

 參考：http://blog.csdn.net/liufeng_king/article/details/8497607