正態QQ圖的原理

正態QQ圖的原理

QQ圖經過把測試樣本數據的分位數與已知分佈相比較，從而來檢驗數據的分佈狀況。QQ圖是一種散點圖,對應於正態分佈的QQ圖,就是由標準正態分佈的分位數爲橫座標,樣本值爲縱座標的散點圖。要利用QQ圖鑑別樣本數據是否近似於正態分佈,只需看QQ圖上的點是否近似地在一條直線附近,圖形是直線說明是正態分佈，並且該直線的斜率爲標準差,截距爲均值，用QQ圖還可得到樣本偏度和峯度的粗略信息。圖形中有一段是直線，在兩端存在弧度，則可說明峯度的狀況。圖形是曲線圖，說明不對稱。若是Q-Q圖是直線，當該直線成45度角並穿過原點時，說明分佈與給定的正態分佈徹底同樣。若是是成45度角但不穿過原點，說明均值與給定的正態分佈不一樣，若是是直線但不是45度角，說明均值與方差都與給定的分佈不一樣。若是Q-Q圖中間部分是直線，可是右邊在直線下面，左邊在直線上面，說明分佈的峯度大於3，反之說明峯度小於3；圖形是曲線圖，說明不對稱。

分位數（quantile fractile）又稱百分位點，或者下側分位數。 定義：設連續隨機變量X的分佈函數爲F(X)，密度函數爲p(x)。那麼，對任意0<p<1的p，稱F(X)=p的x爲此分佈的分位數，或者下側分位數。簡單的說，分位數指的就是連續分佈函數中的一個點，這個點對應機率p。

R語言模擬

rd=rnorm(100) 
plot(density(rd),main = "正態隨機變量機率密度",lwd=2)
points(rd,rep(0.01,100),pch=20,col=rainbow(100))

經過上圖能夠看出，產生的100個隨機數多數集中在[-1,1]之間，且均值爲0。

t=rank(rd)/100 #求觀察累積機率
q=qnorm(t) #用累積機率求分位數值
plot(rd,q,main = "Q-Q圖",pch=20,col=rainbow(100)) #畫Q-Q圖
abline(0,1,lwd=2)

第二次模擬1000個隨機數

n=1000
rd=rnorm(n) 
plot(density(rd),main = "正態隨機變量機率密度",lwd=2)
points(rd,rep(0.01,n),pch=20,col=rainbow(n))

t=rank(rd)/n #求觀察累積機率
q=qnorm(t) #用累積機率求分位數值
plot(rd,q,main = "Q-Q圖",pch=20,col=rainbow(n)) #畫Q-Q圖
abline(0,1,lwd=2)

第三次模擬5000個隨機數

n=2000
rd=rnorm(n) 
plot(density(rd),main = "正態隨機變量機率密度",lwd=2)
points(rd,rep(0.01,n),pch=20,col=rainbow(n))

t=rank(rd)/n #求觀察累積機率
q=qnorm(t) #用累積機率求分位數值
plot(rd,q,main = "Q-Q圖",pch=20,col=rainbow(n)) #畫Q-Q圖
abline(0,1,lwd=2)

可見，經過QQ圖能夠看出，樣本值越大，隨機數的分佈狀態越近似於正態分佈。

反饋與建議

• 做者：ShangFR
• 郵箱：shangfr@foxmail.com