Catalan卡特蘭數入門

簡介

卡特蘭數是組合數學中的一種常見數列

它的前幾項爲：

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670,129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452

公式

 

遞歸公式1

$f(n)=\sum_{i=0}^{n-1}f(i)*f(n-i-1)$

遞歸公式2

$f(n)=\frac{f(n-1)*(4*n-2)}{n+1}$

組合公式1

$f(n)=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$

組合公式2，重要！重要！重要！

$f(n)=C_{2n}^n-C_{2*n}^{n-1}$

遞推公式

$f[n]=\sum_{i=0}^{n-1}f[i]*f[n-i-1]$

通常在作題的時候，都是利用這個公式進行遞推

 

證實

不會:stuck_out_tongue_closed_eyes:。（衆人：那你在這瞎bb啥。:triumph:）

這個東西的證實我確實不會

不過我在這裏教你們一種很是簡單易懂的記憶方法，

 

記$f[n]$爲卡特蘭數的第$n$項

首先你要明白一件事情

一棵$n$個節點的二叉樹的形態總數，就是卡特蘭數的第$n$項

對於一棵二叉樹，遞歸的考慮

一棵只有一個節點的二叉樹只有一種形態

對於不是一個節點的二叉樹，按照他的左右孩子進行討論

設它的左孩子有$i$個節點，那麼它的形態數爲$f[i]$

那麼它的右孩子有$n-i-1$個節點，那麼它的形態數爲$f[n-i-1]$ 

又由於每個節點均可以做爲根節點

因此不可貴到遞推式

$f[n]=\sum_{i=0}^{n-1}f[i]*f[n-i-1]$

 

例題

都是裸題我就不細講了

洛谷P1722 矩陣 II

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/7725346.html

洛谷P1044 棧

洛谷P1976 雞蛋餅

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/7725386.html

總結

卡特蘭數是一種常見的數列

須要每一位選手掌握它的遞推式

卡特蘭數通常不會單獨出現，每每會出如今一些題目的部分分中，如2017某省省選(具體忘記了。)

在考場上，要證實一個東西是卡特蘭數是很是困難的

本身手玩點小數據，只要前幾項吻合，那通常就是卡特蘭數啦