Catalan Numbers(卡特蘭數)

 Catalan Numbers 是組合數學中一種應用很廣的數學模型，今天又複習了一遍。

着重體會了Catalan Numbers的本質約束，求解推導過程，常見的符合Catalan Numbers的模型。

1，Catalan Numbers的本質約束

我以爲碰到一個模型要判別是否能用Catalan Numbers這種遞推模型來求解，不能光記住那些常見的模型，雖然記憶有助於咱們理解。我想了想Catalan Numbers最本質的約束，最終的得出了一個結論。那就是Catalan Numbers對應的模型必定與一個從1到n的天然數序列的入棧出棧序列同構（對應）。仔細思考一下出棧入棧序列的限制，能夠分爲如下幾點：

   a,入棧必定要在出棧前，且入棧時必定是從1-n的順序。

  b,入棧只能一次。

   c,入棧後必定要出棧。即必定要匹配。

2,符合Catalan遞推模型的解釋

    a, dyck word

    模型敘述：C_n表示長度2n的dyck word的個數。Dyck word是一個有n個X和n個Y組成的字串，且全部的部分字串皆知足X的個數大於等於Y的個數。如下爲長度爲6的dyck words:

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

    模型解釋:把n個X看作1——n的天然數，Y看作#1——#n的序列，其中#i表示i出棧。例如XXXYYY，表示123#3#2#1。也就是X看作入棧，Y看作出棧便可。

   b, 買票找零

   模型敘述：有2n我的排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n我的有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？

 模型解釋：將持5元者到達視做將5元入棧，持10元者到達視做使棧中某5元出棧

  C，括號的合法性

  模型敘述：給出n對括號（）,問有多少種合法的組合。

   模型解釋：將左括號看作入棧，右括號看作出棧，便可。

   d，二叉樹的個數

 模型敘述：問含有n+1個葉子的二叉樹的個數。

   模型解釋：將左孩子看作左括號，右孩子看作右括號，這裏指的孩子包括分支節點和葉子節點。而後先序遍歷即對應C。 C(n)。

   e,滿二叉樹的個數

   同上。

   f, 單調路徑

  模型敘述：查看圖片http://en.wikipedia.org/wiki/File:Catalan_number_4x4_grid_example.svg

  一個單調路徑從格點左下角出發，在格點右上角結束，每一步均爲向上或向右。計算這種路徑的個數。

模型解釋：將向右看作入棧，將向左看作出棧。

 3，困惑

    對於凸三角形劃分和階梯填充，我仍是找不到很好的切入點，利用本身思考的這個結論來解釋。不過我以爲這種結論對於一些淺顯模型的解釋仍是很直白的，很容易發現的。

4，參考資料

維基百科：http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number

百度百科：http://baike.baidu.com/view/2499752.htm

http://www.cppblog.com/MiYu/archive/2010/08/07/122573.html