ACM數論之旅5---數論四大定理（你怕不怕(☆ﾟ∀ﾟ)老實告訴我）

（本篇無證實，想要證實的去找度娘）o(*≧▽≦)ツ

----------數論四大定理---------

 

數論四大定理：

1.威爾遜定理

2.歐拉定理

3.孫子定理（中國剩餘定理）

4.費馬小定理

 

（提示：之後出現（mod p）就表示這個公式是在求餘p的條件下成立）

 

 

 

 

 

 

 

 

1.威爾遜定理：（PS：威爾遜是個厲害人）

當且僅當p爲素數時：( p -1 )! ≡ -1 ( mod p )

或者這麼寫( p -1 )! ≡ p-1 ( mod p )

或者說

若p爲質數，則p能被(p-1)!+1整除

 

在初等數論中

這是威爾遜給出了斷定一個天然數是否爲 素數 的 充分必要條件

可是因爲階乘是呈爆炸增加的，其結論對於實際操做意義不大。(´・ω・`)（威爾遜表示很傷心）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.歐拉定理：（PS：歐拉是個厲害人）

歐拉定理，也稱費馬-歐拉定理

若n,a爲正整數，且n,a互質，即gcd(a,n) = 1，則

a^φ(n) ≡ 1 (mod n)

 

φ(n) 是歐拉函數

  歐拉函數是求小於等於n的數中與n互質的數的數目  

(o>▽<)太長看不懂？我來幫你斷句

  歐拉函數是求 （小於n的數 ）中 （與n互質的數 ）的數目

或者說

  歐拉函數是求 1到n-1 中 與n互質的數 的數目

 

若是n是質數

那麼1到n-1全部數都是與n互質的，

因此φ(n) = n-1

若是n是合數。。。本身算吧

例如φ(8)=4，由於1,3,5,7均和8互質

 

 

順便一提，這是歐拉定理

φ(n)是歐拉函數

還有一個歐拉公式

e^ix = cosx + isinx

把x用 π帶進去，變成

e^iπ= -1

大部分人寫成  e^iπ + 1 = 0

 

這是一個令萬人膜拜的偉大公式

引用一個名人的話（我忘了是誰(￣▽￣lll)）：

"它把天然對數e，虛數i，無理數 π，天然界中的有和無（1和0）巧妙的結合了起來，上帝若是不存在，怎麼會有這麼優美的公式。

如何見到它第一眼的人沒有看到它的魅力，那它必定成不了數學家"

 

必定要分清 歐拉定理，歐拉函數和歐拉公式這3個東西，要否則你就百度不到你想要的東西了（其實我在說我本身￣ε ￣）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.孫子定理（中國剩餘定理）：（PS：孫子是個厲害人。。。這話怎麼在哪裏聽過( ・◇・)？好耳熟）

孫子定理，又稱中國剩餘定理。

 

公元先後的《孫子算經》中有「物不知數」問題：「今有物不知其數，三三數之餘二 ，五五數之餘三 ，七七數之餘二，問物幾何？」答爲「23」。

就是說，有一個東西不知道有多少個，可是它求餘3等於2，求餘5等於3，求餘7等於2，問這個東西有多少個？」答爲「23」。

 

用現代數學的語言來講明的話，中國剩餘定理給出瞭如下的一元線性同餘方程組：

中國剩餘定理說明：假設整數m1,m2, ... ,mn兩兩互質，則對任意的整數：a1,a2, ... ,an，方程組 (S)有解

 

至於怎麼求解，之後再講

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.費馬小定理：（PS：費馬是個厲害人。。。好了最後一遍，不玩了）

 

假如p是質數，若p不能整除a，則 a^(p-1) ≡1（mod p），若p能整除a，則a^(p-1) ≡0（mod p）。

或者說，若p是質數，且a,p互質，那麼 a的(p-1)次方除以p的餘數恆等於1。

 

 

你看你看你看o(*≧▽≦)ツ，是否是和歐拉定理很像

 

由於歐拉定理是費馬小定理的推廣，因此歐拉定理也叫費馬-歐拉定理（費馬：歐拉是壞人（/TДT)/，盜取個人成果，而後加以利用）

 

順便一提，費馬大定理

費馬大定理，又被稱爲「費馬最後的定理」，由法國數學家費馬提出。

它斷言當整數n >2時，關於x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 沒有正整數解。

被提出後，經歷多人猜測辯證，歷經三百多年的歷史，最終在1995年被英國數學家安德魯·懷爾斯證實。

 

 

 

 

 

 

 

 

這是數論的一些基礎，之後會用的上的￣ 3￣