ACM數論之旅6---數論倒數，又稱逆元（我整我的都倒了(￣﹏￣)）

 

數論倒數，又稱逆元（由於我說習慣逆元了，下面我都說逆元）

數論中的倒數是有特別的意義滴

你覺得a的倒數在數論中仍是1/a嗎

(・∀・)哼哼~天真

 

先來引入求餘概念

 

(a +  b) % p = (a%p +  b%p) %p  （對）

(a  -  b) % p = (a%p  -  b%p) %p  （對）

(a  *  b) % p = (a%p *  b%p) %p  （對）

(a  /  b) % p = (a%p  /  b%p) %p  （錯）

 

爲何除法錯的

證實是對的難，證實錯的只要舉一個反例

(100/50)%20 = 2       ≠      (100%20) / (50%20) %20 = 0

 

對於一些題目，咱們必須在中間過程當中進行求餘，不然數字太大，電腦存不下，那若是這個算式中出現除法，咱們是否是對這個算式就沒法計算了呢？

答案固然是 NO (>o<)

 

這時就須要逆元了

 

咱們知道

若是

a*x = 1

那麼x是a的倒數，x = 1/a

可是a若是不是1，那麼x就是小數

那數論中，大部分狀況都有求餘，因此如今問題變了

a*x  = 1 (mod p)

那麼x必定等於1/a嗎

不必定

因此這時候，咱們就把x當作a的倒數，只不過加了一個求餘條件，因此x叫作    a關於p的逆元

 

好比2 * 3 % 5 = 1，那麼3就是2關於5的逆元，或者說2和3關於5互爲逆元

這裏3的效果是否是跟1/2的效果同樣，因此才叫數論倒數

 

a的逆元，咱們用inv(a)來表示

 

那麼(a  /  b) % p = (a * inv(b) ) % p = (a % p * inv(b) % p) % p

這樣就把除法，徹底轉換爲乘法了 (。・ω・)，乘法超容易

 

 

 

 

 

 

 

 

 

正篇開始

 

逆元怎麼求

(忘了說，a和p互質，a纔有關於p的逆元)

 

 

 

 

 

 

方法一：

 

費馬曾經說過：不想當數學家的數學家不是好數學家（(￣▽￣)~*我隨便說的，別當真）

費馬小定理

a^(p-1) ≡1 (mod p)

兩邊同除以a

a^(p-2) ≡1/a (mod p)

什麼(,,• ₃ •,,)，這但是數論，還敢寫1/a

應該寫a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)

 

因此inv(a) = a^(p-2) (mod p)

這個用快速冪求一下，複雜度O(logn)(ง •̀_•́)ง 

 1 LL pow_mod(LL a, LL b, LL p){//a的b次方求餘p 
 2     LL ret = 1;
 3     while(b){
 4         if(b & 1) ret = (ret * a) % p;
 5         a = (a * a) % p;
 6         b >>= 1;
 7     }
 8     return ret;
 9 }
10 LL Fermat(LL a, LL p){//費馬求a關於b的逆元 
11         return pow_mod(a, p-2, p);
12 }

 

 

 

 

 

 

 

方法二：

 

要用擴展歐幾里德算法

還記得擴展歐幾里德嗎？（不記得的話，歐幾里得會傷心的(╭￣3￣)╭♡）

 

a*x + b*y = 1

若是ab互質，有解

 

這個解的x就是a關於b的逆元

y就是b關於a的逆元

爲何呢？

 

你看，兩邊同時求餘b

 

a*x % b + b*y % b = 1 % b

a*x % b = 1 % b

a*x = 1 (mod b)

 

你看你看，出現了！！！(/≥▽≤/)

因此x是a關於b的逆元

反之可證實y

 

附上代碼：

 1 #include<cstdio>
 2 typedef long long LL;
 3 void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
 4     if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
 5     else{
 6         ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
 7         y -= x * (a / b);
 8     }
 9 }
10 LL inv(LL t, LL p){//若是不存在，返回-1 
11     LL d, x, y;
12     ex_gcd(t, p, x, y, d);
13     return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
14 }
15 int main(){
16     LL a, p;
17     while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){
18         printf("%lld\n", inv(a, p));
19     }
20 }

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

方法三：

當p是個質數的時候有
inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

這爲啥是對的咩？

證實不想看的孩子能夠跳過。。。（￣0 ￣）

證實：
設x = p % a,y = p / a
因而有 x + y * a = p
(x + y * a) % p = 0
移項得 x % p = (-y) * a % p
x * inv(a) % p = (-y) % p
inv(a) = (p - y) * inv(x) % p
因而 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

而後一直遞歸到1爲止，由於1的逆元就是1

 

代碼：

 1 #include<cstdio>
 2 typedef long long LL;
 3 LL inv(LL t, LL p) {//求t關於p的逆元，注意:t要小於p，最好傳參前先把t%p一下 
 4     return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
 5 }
 6 int main(){
 7     LL a, p;
 8     while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){
 9         printf("%lld\n", inv(a%p, p));
10     }
11 }

 

 

 

這個方法不限於求單個逆元，比前兩個好，它能夠在O(n)的複雜度內算出n個數的逆元

遞歸就是上面的寫法，加一個記憶性遞歸，就能夠了

遞推這麼寫

 1 #include<cstdio>
 2 const int N = 200000 + 5;
 3 const int MOD = (int)1e9 + 7;
 4 int inv[N];
 5 int init(){
 6     inv[1] = 1;
 7     for(int i = 2; i < N; i ++){
 8         inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
 9     }
10 }
11 int main(){
12     init();
13 }

 

 

 

 

 

 

又學到新知識了o(*≧▽≦)ツ好開心