ACM數論之旅8---組合數（組合大法好(,,• ₃ •,,) ）

組合數並不陌生(´・ω・`)

咱們都學過組合數

 

會求組合數嗎

 

通常咱們用楊輝三角性質

楊輝三角上的每個數字都等於它的左上方和右上方的和（除了邊界）

 

第n行，第m個就是，就是C(n, m) （從0開始）

 

電腦上咱們就開一個數組保存，像這樣

 

 

 

用遞推求

 1 #include<cstdio>
 2 const int N = 2000 + 5;
 3 const int MOD = (int)1e9 + 7;
 4 int comb[N][N];//comb[n][m]就是C(n,m)
 5 void init(){
 6     for(int i = 0; i < N; i ++){
 7         comb[i][0] = comb[i][i] = 1;
 8         for(int j = 1; j < i; j ++){
 9             comb[i][j] = comb[i-1][j] + comb[i-1][j-1];
10             comb[i][j] %= MOD;
11         }
12     }
13 }
14 int main(){
15     init();
16 }

 

（PS：大部分題目都要求求餘，並且大部分都是對1e9+7這個數求餘）

這種方法的複雜度是O(n^2)，有沒有O(n)的作法，固然有(´・ω・`)

 

由於大部分題都有求餘，因此咱們大可利用逆元的原理（沒求餘的題目，其實你也能夠把MOD本身開的大一點，這樣同樣能夠用逆元作）

 

根據這個公式

咱們須要求階乘和逆元階乘

 咱們就用1e9+7來求餘吧

 

代碼以下：

 1 #include<cstdio>
 2 const int N = 200000 + 5;
 3 const int MOD = (int)1e9 + 7;
 4 int F[N], Finv[N], inv[N];//F是階乘，Finv是逆元的階乘 
 5 void init(){
 6     inv[1] = 1;
 7     for(int i = 2; i < N; i ++){
 8         inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
 9     }
10     F[0] = Finv[0] = 1;
11     for(int i = 1; i < N; i ++){
12         F[i] = F[i-1] * 1ll * i % MOD;
13         Finv[i] = Finv[i-1] * 1ll * inv[i] % MOD;
14     }
15 }
16 int comb(int n, int m){//comb(n, m)就是C(n, m) 
17     if(m < 0 || m > n) return 0;
18     return F[n] * 1ll * Finv[n - m] % MOD * Finv[m] % MOD;
19 }
20 int main(){
21     init();
22 }

 

 

組合大法好，要懂得善加利用(。-`ω´-)