Prim算法(二)之 C++詳解

時間 2019-11-05

標籤 prim 算法 c++ 詳解欄目 C&C++ 简体版

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本章是普里姆算法的C++實現。html

目錄
1. 普里姆算法介紹
2. 普里姆算法圖解
3. 普里姆算法的代碼說明
4. 普里姆算法的源碼 git

轉載請註明出處：http://www.cnblogs.com/skywang12345/github

更多內容：數據結構與算法系列目錄算法

普里姆算法介紹

普里姆(Prim)算法，是用來求加權連通圖的最小生成樹的算法。數組

基本思想
對於圖G而言，V是全部頂點的集合；如今，設置兩個新的集合U和T，其中U用於存放G的最小生成樹中的頂點，T存放G的最小生成樹中的邊。從全部uЄU，vЄ(V-U) (V-U表示出去U的全部頂點)的邊中選取權值最小的邊(u, v)，將頂點v加入集合U中，將邊(u, v)加入集合T中，如此不斷重複，直到U=V爲止，最小生成樹構造完畢，這時集合T中包含了最小生成樹中的全部邊。數據結構

普里姆算法圖解

以上圖G4爲例，來對普里姆進行演示(從第一個頂點A開始經過普里姆算法生成最小生成樹)。ui

初始狀態：V是全部頂點的集合，即V={A,B,C,D,E,F,G}；U和T都是空！
第1步：將頂點A加入到U中。
    此時，U={A}。
第2步：將頂點B加入到U中。
    上一步操做以後，U={A}, V-U={B,C,D,E,F,G}；所以，邊(A,B)的權值最小。將頂點B添加到U中；此時，U={A,B}。
第3步：將頂點F加入到U中。
    上一步操做以後，U={A,B}, V-U={C,D,E,F,G}；所以，邊(B,F)的權值最小。將頂點F添加到U中；此時，U={A,B,F}。
第4步：將頂點E加入到U中。
    上一步操做以後，U={A,B,F}, V-U={C,D,E,G}；所以，邊(F,E)的權值最小。將頂點E添加到U中；此時，U={A,B,F,E}。
第5步：將頂點D加入到U中。
    上一步操做以後，U={A,B,F,E}, V-U={C,D,G}；所以，邊(E,D)的權值最小。將頂點D添加到U中；此時，U={A,B,F,E,D}。
第6步：將頂點C加入到U中。
    上一步操做以後，U={A,B,F,E,D}, V-U={C,G}；所以，邊(D,C)的權值最小。將頂點C添加到U中；此時，U={A,B,F,E,D,C}。
第7步：將頂點G加入到U中。
    上一步操做以後，U={A,B,F,E,D,C}, V-U={G}；所以，邊(F,G)的權值最小。將頂點G添加到U中；此時，U=V。 spa

此時，最小生成樹構造完成！它包括的頂點依次是：A B F E D C G。code

普里姆算法的代碼說明

以"鄰接矩陣"爲例對普里姆算法進行說明，對於"鄰接表"實現的圖在後面會給出相應的源碼。htm

1. 基本定義

class MatrixUDG {
    #define MAX    100
    #define INF    (~(0x1<<31))        // 無窮大(即0X7FFFFFFF)
    private:
        char mVexs[MAX];    // 頂點集合
        int mVexNum;             // 頂點數
        int mEdgNum;             // 邊數
        int mMatrix[MAX][MAX];   // 鄰接矩陣

    public:
        // 建立圖(本身輸入數據)
        MatrixUDG();
        // 建立圖(用已提供的矩陣)
        //MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen);
        MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]);
        ~MatrixUDG();

        // 深度優先搜索遍歷圖
        void DFS();
        // 廣度優先搜索（相似於樹的層次遍歷）
        void BFS();
        // prim最小生成樹(從start開始生成最小生成樹)
        void prim(int start);
        // 打印矩陣隊列圖
        void print();

    private:
        // 讀取一個輸入字符
        char readChar();
        // 返回ch在mMatrix矩陣中的位置
        int getPosition(char ch);
        // 返回頂點v的第一個鄰接頂點的索引，失敗則返回-1
        int firstVertex(int v);
        // 返回頂點v相對於w的下一個鄰接頂點的索引，失敗則返回-1
        int nextVertex(int v, int w);
        // 深度優先搜索遍歷圖的遞歸實現
        void DFS(int i, int *visited);

};

MatrixUDG是鄰接矩陣對應的結構體。
mVexs用於保存頂點，mVexNum是頂點數，mEdgNum是邊數；mMatrix則是用於保存矩陣信息的二維數組。例如，mMatrix[i][j]=1，則表示"頂點i(即mVexs[i])"和"頂點j(即mVexs[j])"是鄰接點；mMatrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點。

2. 普里姆算法

/*
 * prim最小生成樹
 *
 * 參數說明：
 *   start -- 從圖中的第start個元素開始，生成最小樹
 */
void MatrixUDG::prim(int start)
{
    int min,i,j,k,m,n,sum;
    int index=0;         // prim最小樹的索引，即prims數組的索引
    char prims[MAX];     // prim最小樹的結果數組
    int weights[MAX];    // 頂點間邊的權值

    // prim最小生成樹中第一個數是"圖中第start個頂點"，由於是從start開始的。
    prims[index++] = mVexs[start];

    // 初始化"頂點的權值數組"，
    // 將每一個頂點的權值初始化爲"第start個頂點"到"該頂點"的權值。
    for (i = 0; i < mVexNum; i++ )
        weights[i] = mMatrix[start][i];
    // 將第start個頂點的權值初始化爲0。
    // 能夠理解爲"第start個頂點到它自身的距離爲0"。
    weights[start] = 0;

    for (i = 0; i < mVexNum; i++)
    {
        // 因爲從start開始的，所以不須要再對第start個頂點進行處理。
        if(start == i)
            continue;

        j = 0;
        k = 0;
        min = INF;
        // 在未被加入到最小生成樹的頂點中，找出權值最小的頂點。
        while (j < mVexNum)
        {
            // 若weights[j]=0，意味着"第j個節點已經被排序過"(或者說已經加入了最小生成樹中)。
            if (weights[j] != 0 && weights[j] < min)
            {
                min = weights[j];
                k = j;
            }
            j++;
        }

        // 通過上面的處理後，在未被加入到最小生成樹的頂點中，權值最小的頂點是第k個頂點。
        // 將第k個頂點加入到最小生成樹的結果數組中
        prims[index++] = mVexs[k];
        // 將"第k個頂點的權值"標記爲0，意味着第k個頂點已經排序過了(或者說已經加入了最小樹結果中)。
        weights[k] = 0;
        // 當第k個頂點被加入到最小生成樹的結果數組中以後，更新其它頂點的權值。
        for (j = 0 ; j < mVexNum; j++)
        {
            // 當第j個節點沒有被處理，而且須要更新時才被更新。
            if (weights[j] != 0 && mMatrix[k][j] < weights[j])
                weights[j] = mMatrix[k][j];
        }
    }

    // 計算最小生成樹的權值
    sum = 0;
    for (i = 1; i < index; i++)
    {
        min = INF;
        // 獲取prims[i]在mMatrix中的位置
        n = getPosition(prims[i]);
        // 在vexs[0...i]中，找出到j的權值最小的頂點。
        for (j = 0; j < i; j++)
        {
            m = getPosition(prims[j]);
            if (mMatrix[m][n]<min)
                min = mMatrix[m][n];
        }
        sum += min;
    }
    // 打印最小生成樹
    cout << "PRIM(" << mVexs[start] << ")=" << sum << ": ";
    for (i = 0; i < index; i++)
        cout << prims[i] << " ";
    cout << endl;
}