Floyd算法(二)之 C++詳解

時間 2019-11-05

標籤 floyd 算法 c++ 詳解欄目 C&C++ 简体版

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本章是弗洛伊德算法的C++實現。html

目錄
1. 弗洛伊德算法介紹
2. 弗洛伊德算法圖解
3. 弗洛伊德算法的代碼說明
4. 弗洛伊德算法的源碼 git

轉載請註明出處：http://www.cnblogs.com/skywang12345/github

更多內容：數據結構與算法系列目錄算法

弗洛伊德算法介紹

和Dijkstra算法同樣，弗洛伊德(Floyd)算法也是一種用於尋找給定的加權圖中頂點間最短路徑的算法。該算法名稱以創始人之1、1978年圖靈獎得到者、斯坦福大學計算機科學系教授羅伯特·弗洛伊德命名。數組

基本思想 數據結構

經過Floyd計算圖G=(V,E)中各個頂點的最短路徑時，須要引入一個矩陣S，矩陣S中的元素a[i][j]表示頂點i(第i個頂點)到頂點j(第j個頂點)的距離。 ui

假設圖G中頂點個數爲N，則須要對矩陣S進行N次更新。初始時，矩陣S中頂點a[i][j]的距離爲頂點i到頂點j的權值；若是i和j不相鄰，則a[i][j]=∞。接下來開始，對矩陣S進行N次更新。第1次更新時，若是"a[i][j]的距離" > "a[i][0]+a[0][j]"(a[i][0]+a[0][j]表示"i與j之間通過第1個頂點的距離")，則更新a[i][j]爲"a[i][0]+a[0][j]"。同理，第k次更新時，若是"a[i][j]的距離" > "a[i][k]+a[k][j]"，則更新a[i][j]爲"a[i][k]+a[k][j]"。更新N次以後，操做完成！spa

單純的看上面的理論可能比較難以理解，下面經過實例來對該算法進行說明。code

弗洛伊德算法圖解

以上圖G4爲例，來對弗洛伊德進行算法演示。htm

初始狀態：S是記錄各個頂點間最短路徑的矩陣。
第1步：初始化S。
矩陣S中頂點a[i][j]的距離爲頂點i到頂點j的權值；若是i和j不相鄰，則a[i][j]=∞。實際上，就是將圖的原始矩陣複製到S中。
注:a[i][j]表示矩陣S中頂點i(第i個頂點)到頂點j(第j個頂點)的距離。

第2步：以頂點A(第1個頂點)爲中介點，若a[i][j] > a[i][0]+a[0][j]，則設置a[i][j]=a[i][0]+a[0][j]。
以頂點a[1]6，上一步操做以後，a[1][6]=∞；而將A做爲中介點時，(B,A)=12，(A,G)=14，所以B和G之間的距離能夠更新爲26。

同理，依次將頂點B,C,D,E,F,G做爲中介點，並更新a[i][j]的大小。

弗洛伊德算法的代碼說明

以"鄰接矩陣"爲例對弗洛伊德算法進行說明，對於"鄰接表"實現的圖在後面會給出相應的源碼。

1. 基本定義

class MatrixUDG {
    #define MAX    100
    #define INF    (~(0x1<<31))        // 無窮大(即0X7FFFFFFF)
    private:
        char mVexs[MAX];    // 頂點集合
        int mVexNum;             // 頂點數
        int mEdgNum;             // 邊數
        int mMatrix[MAX][MAX];   // 鄰接矩陣

    public:
        // 建立圖(本身輸入數據)
        MatrixUDG();
        // 建立圖(用已提供的矩陣)
        //MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen);
        MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]);
        ~MatrixUDG();

        // 深度優先搜索遍歷圖
        void DFS();
        // 廣度優先搜索（相似於樹的層次遍歷）
        void BFS();
        // prim最小生成樹(從start開始生成最小生成樹)
        void prim(int start);
        // 克魯斯卡爾（Kruskal)最小生成樹
        void kruskal();
        // Dijkstra最短路徑
        void dijkstra(int vs, int vexs[], int dist[]);
        // Floyd最短路徑
        void floyd(int path[][MAX], int dist[][MAX]);
        // 打印矩陣隊列圖
        void print();

    private:
        // 讀取一個輸入字符
        char readChar();
        // 返回ch在mMatrix矩陣中的位置
        int getPosition(char ch);
        // 返回頂點v的第一個鄰接頂點的索引，失敗則返回-1
        int firstVertex(int v);
        // 返回頂點v相對於w的下一個鄰接頂點的索引，失敗則返回-1
        int nextVertex(int v, int w);
        // 深度優先搜索遍歷圖的遞歸實現
        void DFS(int i, int *visited);
        // 獲取圖中的邊
        EData* getEdges();
        // 對邊按照權值大小進行排序(由小到大)
        void sortEdges(EData* edges, int elen);
        // 獲取i的終點
        int getEnd(int vends[], int i);
};

Graph是鄰接矩陣對應的結構體。
vexs用於保存頂點，vexnum是頂點數，edgnum是邊數；matrix則是用於保存矩陣信息的二維數組。例如，matrix[i][j]=1，則表示"頂點i(即vexs[i])"和"頂點j(即vexs[j])"是鄰接點；matrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點。

2. 弗洛伊德算法

/*
 * floyd最短路徑。
 * 即，統計圖中各個頂點間的最短路徑。
 *
 * 參數說明：
 *     path -- 路徑。path[i][j]=k表示，"頂點i"到"頂點j"的最短路徑會通過頂點k。
 *     dist -- 長度數組。即，dist[i][j]=sum表示，"頂點i"到"頂點j"的最短路徑的長度是sum。
 */
void MatrixUDG::floyd(int path[][MAX], int dist[][MAX])
{
    int i,j,k;
    int tmp;

    // 初始化
    for (i = 0; i < mVexNum; i++)
    {
        for (j = 0; j < mVexNum; j++)
        {
            dist[i][j] = mMatrix[i][j];    // "頂點i"到"頂點j"的路徑長度爲"i到j的權值"。
            path[i][j] = j;                // "頂點i"到"頂點j"的最短路徑是通過頂點j。
        }
    }

    // 計算最短路徑
    for (k = 0; k < mVexNum; k++)
    {
        for (i = 0; i < mVexNum; i++)
        {
            for (j = 0; j < mVexNum; j++)
            {
                // 若是通過下標爲k頂點路徑比原兩點間路徑更短，則更新dist[i][j]和path[i][j]
                tmp = (dist[i][k]==INF || dist[k][j]==INF) ? INF : (dist[i][k] + dist[k][j]);
                if (dist[i][j] > tmp)
                {
                    // "i到j最短路徑"對應的值設，爲更小的一個(即通過k)
                    dist[i][j] = tmp;
                    // "i到j最短路徑"對應的路徑，通過k
                    path[i][j] = path[i][k];
                }
            }
        }
    }

    // 打印floyd最短路徑的結果
    cout << "floyd: " << endl;
    for (i = 0; i < mVexNum; i++)
    {
        for (j = 0; j < mVexNum; j++)
            cout << setw(2) << dist[i][j] << "  ";
        cout << endl;
    }
}