Prim算法(三)之 Java詳解

時間 2019-11-05

標籤 prim 算法 java 詳解欄目 Java 简体版

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前面分別經過C和C++實現了普里姆，本文介紹普里姆的Java實現。html

目錄
1. 普里姆算法介紹
2. 普里姆算法圖解
3. 普里姆算法的代碼說明
4. 普里姆算法的源碼 java

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普里姆算法介紹

普里姆(Prim)算法，是用來求加權連通圖的最小生成樹的算法。算法

基本思想
對於圖G而言，V是全部頂點的集合；如今，設置兩個新的集合U和T，其中U用於存放G的最小生成樹中的頂點，T存放G的最小生成樹中的邊。從全部uЄU，vЄ(V-U) (V-U表示出去U的全部頂點)的邊中選取權值最小的邊(u, v)，將頂點v加入集合U中，將邊(u, v)加入集合T中，如此不斷重複，直到U=V爲止，最小生成樹構造完畢，這時集合T中包含了最小生成樹中的全部邊。數組

普里姆算法圖解

以上圖G4爲例，來對普里姆進行演示(從第一個頂點A開始經過普里姆算法生成最小生成樹)。數據結構

初始狀態：V是全部頂點的集合，即V={A,B,C,D,E,F,G}；U和T都是空！
第1步：將頂點A加入到U中。
    此時，U={A}。
第2步：將頂點B加入到U中。
    上一步操做以後，U={A}, V-U={B,C,D,E,F,G}；所以，邊(A,B)的權值最小。將頂點B添加到U中；此時，U={A,B}。
第3步：將頂點F加入到U中。
    上一步操做以後，U={A,B}, V-U={C,D,E,F,G}；所以，邊(B,F)的權值最小。將頂點F添加到U中；此時，U={A,B,F}。
第4步：將頂點E加入到U中。
    上一步操做以後，U={A,B,F}, V-U={C,D,E,G}；所以，邊(F,E)的權值最小。將頂點E添加到U中；此時，U={A,B,F,E}。
第5步：將頂點D加入到U中。
    上一步操做以後，U={A,B,F,E}, V-U={C,D,G}；所以，邊(E,D)的權值最小。將頂點D添加到U中；此時，U={A,B,F,E,D}。
第6步：將頂點C加入到U中。
    上一步操做以後，U={A,B,F,E,D}, V-U={C,G}；所以，邊(D,C)的權值最小。將頂點C添加到U中；此時，U={A,B,F,E,D,C}。
第7步：將頂點G加入到U中。
    上一步操做以後，U={A,B,F,E,D,C}, V-U={G}；所以，邊(F,G)的權值最小。將頂點G添加到U中；此時，U=V。 ui

此時，最小生成樹構造完成！它包括的頂點依次是：A B F E D C G。spa

普里姆算法的代碼說明

以"鄰接矩陣"爲例對普里姆算法進行說明，對於"鄰接表"實現的圖在後面會給出相應的源碼。code

1. 基本定義

public class MatrixUDG {

    private char[] mVexs;       // 頂點集合
    private int[][] mMatrix;    // 鄰接矩陣
    private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;   // 最大值

    ...
}

MatrixUDG是鄰接矩陣對應的結構體。mVexs用於保存頂點，mEdgNum用於保存邊數，mMatrix則是用於保存矩陣信息的二維數組。例如，mMatrix[i][j]=1，則表示"頂點i(即mVexs[i])"和"頂點j(即mVexs[j])"是鄰接點；mMatrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點。

2. 普里姆算法

/*
 * prim最小生成樹
 *
 * 參數說明：
 *   start -- 從圖中的第start個元素開始，生成最小樹
 */
public void prim(int start) {
    int num = mVexs.length;         // 頂點個數
    int index=0;                    // prim最小樹的索引，即prims數組的索引
    char[] prims  = new char[num];  // prim最小樹的結果數組
    int[] weights = new int[num];   // 頂點間邊的權值

    // prim最小生成樹中第一個數是"圖中第start個頂點"，由於是從start開始的。
    prims[index++] = mVexs[start];

    // 初始化"頂點的權值數組"，
    // 將每一個頂點的權值初始化爲"第start個頂點"到"該頂點"的權值。
    for (int i = 0; i < num; i++ )
        weights[i] = mMatrix[start][i];
    // 將第start個頂點的權值初始化爲0。
    // 能夠理解爲"第start個頂點到它自身的距離爲0"。
    weights[start] = 0;

    for (int i = 0; i < num; i++) {
        // 因爲從start開始的，所以不須要再對第start個頂點進行處理。
        if(start == i)
            continue;

        int j = 0;
        int k = 0;
        int min = INF;
        // 在未被加入到最小生成樹的頂點中，找出權值最小的頂點。
        while (j < num) {
            // 若weights[j]=0，意味着"第j個節點已經被排序過"(或者說已經加入了最小生成樹中)。
            if (weights[j] != 0 && weights[j] < min) {
                min = weights[j];
                k = j;
            }
            j++;
        }

        // 通過上面的處理後，在未被加入到最小生成樹的頂點中，權值最小的頂點是第k個頂點。
        // 將第k個頂點加入到最小生成樹的結果數組中
        prims[index++] = mVexs[k];
        // 將"第k個頂點的權值"標記爲0，意味着第k個頂點已經排序過了(或者說已經加入了最小樹結果中)。
        weights[k] = 0;
        // 當第k個頂點被加入到最小生成樹的結果數組中以後，更新其它頂點的權值。
        for (j = 0 ; j < num; j++) {
            // 當第j個節點沒有被處理，而且須要更新時才被更新。
            if (weights[j] != 0 && mMatrix[k][j] < weights[j])
                weights[j] = mMatrix[k][j];
        }
    }

    // 計算最小生成樹的權值
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i < index; i++) {
        int min = INF;
        // 獲取prims[i]在mMatrix中的位置
        int n = getPosition(prims[i]);
        // 在vexs[0...i]中，找出到j的權值最小的頂點。
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            int m = getPosition(prims[j]);
            if (mMatrix[m][n]<min)
                min = mMatrix[m][n];
        }
        sum += min;
    }
    // 打印最小生成樹
    System.out.printf("PRIM(%c)=%d: ", mVexs[start], sum);
    for (int i = 0; i < index; i++)
        System.out.printf("%c ", prims[i]);
    System.out.printf("\n");
}