Dijkstra算法(二)之 C++詳解

本章是迪傑斯特拉算法的C++實現。

目錄
1. 迪傑斯特拉算法介紹
2. 迪傑斯特拉算法圖解
3. 迪傑斯特拉算法的代碼說明
4. 迪傑斯特拉算法的源碼

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迪傑斯特拉算法介紹

迪傑斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路徑算法，用於計算一個節點到其餘節點的最短路徑。
它的主要特色是以起始點爲中心向外層層擴展(廣度優先搜索思想)，直到擴展到終點爲止。

基本思想

     經過Dijkstra計算圖G中的最短路徑時，須要指定起點s(即從頂點s開始計算)。

     此外，引進兩個集合S和U。S的做用是記錄已求出最短路徑的頂點(以及相應的最短路徑長度)，而U則是記錄還未求出最短路徑的頂點(以及該頂點到起點s的距離)。

     初始時，S中只有起點s；U中是除s以外的頂點，而且U中頂點的路徑是"起點s到該頂點的路徑"。而後，從U中找出路徑最短的頂點，並將其加入到S中；接着，更新U中的頂點和頂點對應的路徑。 而後，再從U中找出路徑最短的頂點，並將其加入到S中；接着，更新U中的頂點和頂點對應的路徑。 ... 重複該操做，直到遍歷完全部頂點。

操做步驟

(1) 初始時，S只包含起點s；U包含除s外的其餘頂點，且U中頂點的距離爲"起點s到該頂點的距離"[例如，U中頂點v的距離爲(s,v)的長度，而後s和v不相鄰，則v的距離爲∞]。

(2) 從U中選出"距離最短的頂點k"，並將頂點k加入到S中；同時，從U中移除頂點k。

(3) 更新U中各個頂點到起點s的距離。之因此更新U中頂點的距離，是因爲上一步中肯定了k是求出最短路徑的頂點，從而能夠利用k來更新其它頂點的距離；例如，(s,v)的距離可能大於(s,k)+(k,v)的距離。

(4) 重複步驟(2)和(3)，直到遍歷完全部頂點。

單純的看上面的理論可能比較難以理解，下面經過實例來對該算法進行說明。

迪傑斯特拉算法圖解

以上圖G4爲例，來對迪傑斯特拉進行算法演示(以第4個頂點D爲起點)。

初始狀態：S是已計算出最短路徑的頂點集合，U是未計算除最短路徑的頂點的集合！
第1步：將頂點D加入到S中。
    此時，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。     注:C(3)表示C到起點D的距離是3。

第2步：將頂點C加入到S中。
    上一步操做以後，U中頂點C到起點D的距離最短；所以，將C加入到S中，同時更新U中頂點的距離。以頂點F爲例，以前F到D的距離爲∞；可是將C加入到S以後，F到D的距離爲9=(F,C)+(C,D)。
    此時，S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)}。

第3步：將頂點E加入到S中。
    上一步操做以後，U中頂點E到起點D的距離最短；所以，將E加入到S中，同時更新U中頂點的距離。仍是以頂點F爲例，以前F到D的距離爲9；可是將E加入到S以後，F到D的距離爲6=(F,E)+(E,D)。
    此時，S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(23),F(6),G(12)}。

第4步：將頂點F加入到S中。
    此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。

第5步：將頂點G加入到S中。
    此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。

第6步：將頂點B加入到S中。
    此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。

第7步：將頂點A加入到S中。
    此時，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。

此時，起點D到各個頂點的最短距離就計算出來了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。

迪傑斯特拉算法的代碼說明

以"鄰接矩陣"爲例對迪傑斯特拉算法進行說明，對於"鄰接表"實現的圖在後面會給出相應的源碼。

1. 基本定義

class MatrixUDG {
    #define MAX    100
    #define INF    (~(0x1<<31))        // 無窮大(即0X7FFFFFFF)
    private:
        char mVexs[MAX];    // 頂點集合
        int mVexNum;             // 頂點數
        int mEdgNum;             // 邊數
        int mMatrix[MAX][MAX];   // 鄰接矩陣

    public:
        // 建立圖(本身輸入數據)
        MatrixUDG();
        // 建立圖(用已提供的矩陣)
        //MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen);
        MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]);
        ~MatrixUDG();

        // 深度優先搜索遍歷圖
        void DFS();
        // 廣度優先搜索（相似於樹的層次遍歷）
        void BFS();
        // prim最小生成樹(從start開始生成最小生成樹)
        void prim(int start);
        // 克魯斯卡爾（Kruskal)最小生成樹
        void kruskal();
        // Dijkstra最短路徑
        void dijkstra(int vs, int vexs[], int dist[]);
        // 打印矩陣隊列圖
        void print();

    private:
        // 讀取一個輸入字符
        char readChar();
        // 返回ch在mMatrix矩陣中的位置
        int getPosition(char ch);
        // 返回頂點v的第一個鄰接頂點的索引，失敗則返回-1
        int firstVertex(int v);
        // 返回頂點v相對於w的下一個鄰接頂點的索引，失敗則返回-1
        int nextVertex(int v, int w);
        // 深度優先搜索遍歷圖的遞歸實現
        void DFS(int i, int *visited);
        // 獲取圖中的邊
        EData* getEdges();
        // 對邊按照權值大小進行排序(由小到大)
        void sortEdges(EData* edges, int elen);
        // 獲取i的終點
        int getEnd(int vends[], int i);
};

MatrixUDG是鄰接矩陣對應的結構體。
mVexs用於保存頂點，mVexNum是頂點數，mEdgNum是邊數；mMatrix則是用於保存矩陣信息的二維數組。例如，mMatrix[i][j]=1，則表示"頂點i(即mVexs[i])"和"頂點j(即mVexs[j])"是鄰接點；mMatrix[i][j]=0，則表示它們不是鄰接點。

2. 迪傑斯特拉算法

/*
 * Dijkstra最短路徑。
 * 即，統計圖中"頂點vs"到其它各個頂點的最短路徑。
 *
 * 參數說明：
 *       vs -- 起始頂點(start vertex)。即計算"頂點vs"到其它頂點的最短路徑。
 *     prev -- 前驅頂點數組。即，prev[i]的值是"頂點vs"到"頂點i"的最短路徑所經歷的所有頂點中，位於"頂點i"以前的那個頂點。
 *     dist -- 長度數組。即，dist[i]是"頂點vs"到"頂點i"的最短路徑的長度。
 */
void MatrixUDG::dijkstra(int vs, int prev[], int dist[])
{
    int i,j,k;
    int min;
    int tmp;
    int flag[MAX];      // flag[i]=1表示"頂點vs"到"頂點i"的最短路徑已成功獲取。

    // 初始化
    for (i = 0; i < mVexNum; i++)
    {
        flag[i] = 0;              // 頂點i的最短路徑還沒獲取到。
        prev[i] = 0;              // 頂點i的前驅頂點爲0。
        dist[i] = mMatrix[vs][i]; // 頂點i的最短路徑爲"頂點vs"到"頂點i"的權。
    }

    // 對"頂點vs"自身進行初始化
    flag[vs] = 1;
    dist[vs] = 0;

    // 遍歷mVexNum-1次；每次找出一個頂點的最短路徑。
    for (i = 1; i < mVexNum; i++)
    {
        // 尋找當前最小的路徑；
        // 即，在未獲取最短路徑的頂點中，找到離vs最近的頂點(k)。
        min = INF;
        for (j = 0; j < mVexNum; j++)
        {
            if (flag[j]==0 && dist[j]<min)
            {
                min = dist[j];
                k = j;
            }
        }
        // 標記"頂點k"爲已經獲取到最短路徑
        flag[k] = 1;

        // 修正當前最短路徑和前驅頂點
        // 即，當已經"頂點k的最短路徑"以後，更新"未獲取最短路徑的頂點的最短路徑和前驅頂點"。
        for (j = 0; j < mVexNum; j++)
        {
            tmp = (mMatrix[k][j]==INF ? INF : (min + mMatrix[k][j]));
            if (flag[j] == 0 && (tmp  < dist[j]) )
            {
                dist[j] = tmp;
                prev[j] = k;
            }
        }
    }

    // 打印dijkstra最短路徑的結果
    cout << "dijkstra(" << mVexs[vs] << "): " << endl;
    for (i = 0; i < mVexNum; i++)
        cout << "  shortest(" << mVexs[vs] << ", " << mVexs[i] << ")=" << dist[i] << endl;
}

迪傑斯特拉算法的源碼

這裏分別給出"鄰接矩陣圖"和"鄰接表圖"的迪傑斯特拉算法源碼。

1. 鄰接矩陣源碼(MatrixUDG.cpp)

2. 鄰接表源碼(ListUDG.cpp)