已知空間三點組成的面求該面上某點的Z值

已知空間三點，那麼能夠就能夠肯定空間三點組成的平面。此時能夠根據某一點的X值和Y值，來求取該點在平面上的Z值。這個過程對於求三角面片上某點的高程或者權值特別有用，其自己也能夠看做一種線性插值。

其算法思路也特別簡單，首先算出其三點組成的平面法向量（可參看《已知三點求平面法向量》）;而後根據平面法向量\(n=(A,B,C)\)和平面上某點\(m=(x0,y0,z0)\)，有平面的點法式方程:
\[ A(X-x0)+B(Y-y0)+C(Z-z0)=0 \]
最後根據欲求點的X、Y值，代入公式解算Z值便可。

具體實現代碼以下：

#include<iostream>

using namespace std;

//三維double矢量
struct Vec3d
{
    double x, y, z;

    Vec3d()
    {
        x = 0.0;
        y = 0.0;
        z = 0.0;
    }
    Vec3d(double dx, double dy, double dz)
    {
        x = dx;
        y = dy;
        z = dz;
    }
    void Set(double dx, double dy, double dz)
    {
        x = dx;
        y = dy;
        z = dz;
    }
};

//計算三點成面的法向量
void Cal_Normal_3D(const Vec3d& v1, const Vec3d& v2, const Vec3d& v3, Vec3d &vn)
{
    //v1(n1,n2,n3);
    //平面方程: na * (x – n1) + nb * (y – n2) + nc * (z – n3) = 0 ;
    double na = (v2.y - v1.y)*(v3.z - v1.z) - (v2.z - v1.z)*(v3.y - v1.y);
    double nb = (v2.z - v1.z)*(v3.x - v1.x) - (v2.x - v1.x)*(v3.z - v1.z);
    double nc = (v2.x - v1.x)*(v3.y - v1.y) - (v2.y - v1.y)*(v3.x - v1.x);

    //平面法向量
    vn.Set(na, nb, nc);
}

void CalPlanePointZ(const Vec3d& v1, const Vec3d& v2, const Vec3d& v3, Vec3d& vp)
{
    Vec3d vn;
    Cal_Normal_3D(v1, v2, v3, vn);  

    if (vn.z != 0)              //若是平面平行Z軸
    {
        vp.z = v1.z - (vn.x * (vp.x - v1.x) + vn.y * (vp.y - v1.y)) / vn.z;         //點法式求解
    }   
}

int main()
{
    Vec3d v1(1.0, 5.2, 3.7);
    Vec3d v2(2.8, 3.9, 4.5);
    Vec3d v3(7.6, 8.4, 6.2);
    Vec3d vp;
    v3.x = 5.6;
    v3.y = 6.4;
    v3.z = 0.0;

    CalPlanePointZ(v1, v2, v3, vp);

    return 0;
}