堆樹（最大堆最小堆）詳解

時間 2021-01-16

一、堆樹的定義

堆樹的定義如下：

（1）堆樹是一顆完全二叉樹；

（2）堆樹中某個節點的值總是不大於或不小於其孩子節點的值；

（3）堆樹中每個節點的子樹都是堆樹。

當父節點的鍵值總是大於或等於任何一個子節點的鍵值時爲最大堆。當父節點的鍵值總是小於或等於任何一個子節點的鍵值時爲最小堆。如下圖所示，左邊爲最大堆，右邊爲最小堆。

二、堆樹的操作

以最大堆爲例進行講解，最小堆同理。

原始數據爲a[] = {4, 1, 3, 2, 16, 9, 10, 14, 8, 7}，採用順序存儲方式，對應的完全二叉樹如下圖所示：

（1）構造最大堆

在構造堆的基本思想就是：首先將每個葉子節點視爲一個堆，再將每個葉子節點與其父節點一起構造成一個包含更多節點的對。

所以，在構造堆的時候，首先需要找到最後一個節點的父節點，從這個節點開始構造最大堆；直到該節點前面所有分支節點都處理完畢，這樣最大堆就構造完畢了。

假設樹的節點個數爲n，以1爲下標開始編號，直到n結束。對於節點i，其父節點爲i/2；左孩子節點爲i*2，右孩子節點爲i*2+1。最後一個節點的下標爲n，其父節點的下標爲n/2。

如下圖所示，最後一個節點爲7，其父節點爲16，從16這個節點開始構造最大堆；構造完畢之後，轉移到下一個父節點2，直到所有父節點都構造完畢。

C++代碼實現：

定義存放堆的結構如下：

strcut MaxHeap{ Etype *heap; int HeapSize; int MaxSize;};MaxHeap H;

其中，heap是數據元素存放的空間，下標從1開始存數數據，下標爲0的作爲工作空間，存儲臨時數據。HeapSize是數據元素的個數，MaxSize是存放數據元素空間的大小。

初始化堆方法如下：

void MaxHeapInit (MaxHeap &H){ for(int i = H.HeapSize/2; i>=1; i--) {  H.heap[0] = H.heap[i];  int son = i*2;  while(son <= H.HeapSize)  {   if(son < H.HeapSize && H.heap[son] < H.heap[son+1])    son++;   if(H.heap[0] >= H.heap[son])    break;   else   {    H.heap[son/2] = H.heap[son];    son *= 2;   }  }  H.heap[son/2] = H.heap[0]; }}

（2）最大堆中插入節點

最大堆的插入節點的思想就是先在堆的最後添加一個節點，然後沿着堆樹上升。跟最大堆的初始化過程大致相同。

C++代碼實現：

void MaxHeapInsert (MaxHeap &H, EType &x){ if(H.HeapSize == H.MaxSize)  return false; int i = ++H.HeapSize; while(i!=1 && x>H.heap[i/2]) {  H.heap[i] = H.heap[i/2];  i = i/2; } H.heap[i] = x; return true;}

（3）最大堆中堆頂節點的刪除

最大堆堆頂節點刪除思想如下：將堆樹的最後的節點提到根結點，然後刪除最大值，然後再把新的根節點放到合適的位置。

C++代碼實現：

void MaxHeapDelete (MaxHeap &H, EType &x){ if(H.HeapSize == 0)  return false; x = H.heap[1]; H.heap[0] = H.heap[H.HeapSize--]; int i = 1, son = i*2;  while(son <= H.HeapSize) {  if(son <= H.HeapSize && H.heap[0] < H.heap[son+1])   son++;  if(H.heap[0] >= H.heap[son])   break;  H.heap[i] = H.heap[son];  i = son;  son  = son*2; } H.heap[i] = H.heap[0]; return true;}

三、堆樹的應用

利用最大堆、最小堆進行排序。

堆排序算法詳解：http://blog.csdn.net/guoweimelon/article/details/50904231

參考文獻：

1、徹底弄懂最大堆的四種操作(圖解+程序)（JAVA） http://128kj.iteye.com/blog/1728555

2、最大堆、最小堆 http://blog.csdn.net/genios/article/details/8157031

堆樹（最大堆 最小堆）詳解

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