堆樹（最大堆、最小堆）詳解

http://www.javashuo.com/article/p-qspyjxpy-no.html

1、堆樹的定義

堆樹的定義以下：

（1）堆樹是一顆徹底二叉樹；

（2）堆樹中某個節點的值老是不大於或不小於其孩子節點的值；

（3）堆樹中每一個節點的子樹都是堆樹。

當父節點的鍵值老是大於或等於任何一個子節點的鍵值時爲最大堆。 當父節點的鍵值老是小於或等於任何一個子節點的鍵值時爲最小堆。以下圖所示，左邊爲最大堆，右邊爲最小堆。

2、堆樹的操做

以最大堆爲例進行講解，最小堆同理。

原始數據爲a[] = {4, 1, 3, 2, 16, 9, 10, 14, 8, 7}，採用順序存儲方式，對應的徹底二叉樹以下圖所示：

（1）構造最大堆

在構造堆的基本思想就是：首先將每一個葉子節點視爲一個堆，再將每一個葉子節點與其父節點一塊兒構形成一個包含更多節點的對。

因此，在構造堆的時候，首先須要找到最後一個節點的父節點，從這個節點開始構造最大堆；直到該節點前面全部分支節點都處理完畢，這樣最大堆就構造完畢了。

假設樹的節點個數爲n，以1爲下標開始編號，直到n結束。對於節點i，其父節點爲i/2；左孩子節點爲i*2，右孩子節點爲i*2+1。最後一個節點的下標爲n，其父節點的下標爲n/2。

 

以下圖所示，最後一個節點爲7，其父節點爲16，從16這個節點開始構造最大堆；構造完畢以後，轉移到下一個父節點2，直到全部父節點都構造完畢。

C++代碼實現：

定義存放堆的結構以下：

 

strcut MaxHeap
{
	Etype *heap;
	int HeapSize;
	int MaxSize;
};
MaxHeap H;

 

其中，heap是數據元素存放的空間，下標從1開始存數數據，下標爲0的做爲工做空間，存儲臨時數據。HeapSize是數據元素的個數，MaxSize是存放數據元素空間的大小。

初始化堆方法以下：

 

void MaxHeapInit (MaxHeap &H)
{
	for(int i = H.HeapSize/2; i>=1; i--)
	{
		H.heap[0] = H.heap[i];
		int son = i*2;
		while(son <= H.HeapSize)
		{
			if(son < H.HeapSize && H.heap[son] < H.heap[son+1])
				son++;
			if(H.heap[0] >= H.heap[son])
				break;
			else
			{
				H.heap[son/2] = H.heap[son];
				son *= 2;
			}
		}
		H.heap[son/2] = H.heap[0];
	}
}

 

 

（2）最大堆中插入節點

最大堆的插入節點的思想就是先在堆的最後添加一個節點，而後沿着堆樹上升。跟最大堆的初始化過程大體相同。

C++代碼實現：

 

void MaxHeapInsert (MaxHeap &H, EType &x)
{
	if(H.HeapSize == H.MaxSize)
		return false;
	int i = ++H.HeapSize;
	while(i!=1 && x>H.heap[i/2])
	{
		H.heap[i] = H.heap[i/2];
		i = i/2;
	}
	H.heap[i] = x;
	return true;
}

 

 

（3）最大堆中堆頂節點的刪除

最大堆堆頂節點刪除思想以下：將堆樹的最後的節點提到根結點，而後刪除最大值，而後再把新的根節點放到合適的位置。

C++代碼實現：

 

void MaxHeapDelete (MaxHeap &H, EType &x)
{
	if(H.HeapSize == 0)
		return false;
	x = H.heap[1];
	H.heap[0] = H.heap[H.HeapSize--];
	int i = 1, son = i*2; 

	while(son <= H.HeapSize)
	{
		if(son <= H.HeapSize && H.heap[0] < H.heap[son+1])
			son++;
		if(H.heap[0] >= H.heap[son])
			break;
		H.heap[i] = H.heap[son];
		i = son;
		son  = son*2;
	}
	H.heap[i] = H.heap[0];
	return true;
}

 

 

3、堆樹的應用

利用最大堆、最小堆進行排序。

堆排序算法詳解：http://blog.csdn.net/guoweimelon/article/details/50904231

 

參考文獻：

一、完全弄懂最大堆的四種操做(圖解+程序)（JAVA） http://128kj.iteye.com/blog/1728555

二、最大堆、最小堆 http://blog.csdn.net/genios/article/details/8157031