博弈論進階之樹的刪邊遊戲與無向圖的刪邊遊戲

PS:本文內容大部分借(chao)鑑(xo)自yhqz

樹的刪邊遊戲

給出一個有 N個點的樹，有一個點做爲樹的根節點。遊戲者輪流從樹中刪去邊，刪去一條邊後，不與根節點相連的部分將被移走。誰沒法移動誰輸。

結論

葉子節點的SG值爲0；中間節點的SG值爲它的全部子節點的SG值加1後的異或和。

證實

無向圖的刪邊遊戲

一個無相聯通圖，有一個點做爲圖的根。

遊戲者輪流從圖中刪去邊，刪去一條邊後，不與根節點相連的部分將被移走。

誰無路可走誰輸。

結論

對於這個模型，有一個著名的定理——Fusion Principle

咱們能夠對無向圖作以下改動：將圖中的任意一個偶環縮成一個新點，任意一個奇環縮成一個新點加一個新邊；全部連到原先環上的邊所有改成與新點相連。這樣的改動不會影響圖的SG 值。

這樣的話，咱們能夠將任意一個無向圖改爲樹結構，「無向圖的刪邊遊戲」就變成了「樹的刪邊遊戲」。