博弈論進階之Anti-SG遊戲與SJ定理

前言

在上一節中，咱們初步瞭解了一下SG函數與SG定理。

今天咱們來分析一下SG遊戲的變式——Anti-SG遊戲以及它所對應的SG定理

首先從最基本的Anti-Nim遊戲開始

Anti-Nim遊戲是這樣的

有兩個頂尖聰明的人在玩遊戲，遊戲規則是這樣的：
有\(n\)堆石子，兩我的能夠從任意一堆石子中拿任意多個石子(不能不拿)，拿走最後一個石子的人失敗。問誰會勝利

博弈分析

Anti-Nim遊戲與Nim遊戲惟一的不一樣就是兩人的勝利條件發生了改變，不過這並不影響咱們對結論的推導

對於這個遊戲，先手必勝有兩種狀況

• 當每堆石子都只有一個，且遊戲的SG值爲\(0\)
• 至少一堆石子多於一個，且遊戲的SG值不爲\(0\)

粗略的證實一下

遊戲大概能夠被分爲\(3\)種狀況

• 每堆只有一個石子
• 當異或值爲\(0\)時，先手必勝
• 當異或值不爲\(0\)時，先手必敗
• 只有一堆石子數大於1，先手必勝

通過分析不難發現，先手能夠對數量大於1的那堆石子下手腳，從而構造出後手必敗的狀態

• 存在至少兩堆石子數大於1
• 當異或和爲0時，先手必敗
• 當異或和不爲0時，先手必敗

這一步的結論與Nim遊戲很是類似，同時它們的證實也很是類似，大概就是從異或和爲\(0\)的狀態不管怎樣都會變爲異或和不爲\(0\)的狀態，反過來從異或和不爲\(0\)的狀態總有一步能到達異或和爲\(0\)的狀態

推廣

按照咱們學習SG函數的思路，咱們是否能夠把Anti-Nim遊戲推廣開來呢？

答案是確定的

定義Anti-SG遊戲

• Anti-SG遊戲規定：決策集合爲空的遊戲者贏
• 其他規則與SG遊戲相同

同時咱們定義SJ定理

對於Anti-SG遊戲，若是咱們規定當局面中全部單一遊戲的SG值爲0時，遊戲結束，則先手必勝當且僅當

• 遊戲的SG函數不爲0且遊戲中某個單一遊戲的SG函數值大於1

• 遊戲的SG函數爲0且沒有某個單一遊戲的SG函數大於1

證實與SG函數相似，

不追求完美的能夠從DAG上概括

追求完美的能夠用模仿棋證實出該遊戲的等價性而後推出該遊戲是可數集合而後經過計算推出在模\(2\)意義下線性空間的基能夠爲\(nim(0),nim(1)\)最後概括證實一個後繼是若干Anti-nim遊戲的遊戲等價於\(mex(S)\)

例題

按照whx老師的說法

Anti-SG不怎麼重要，我至今爲止就作到過一道題

那道題在這兒

題解