博弈論入門之nim遊戲

時間 2019-11-06

標籤博弈論入門 nim 遊戲欄目遊戲简体版

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nim遊戲

nim遊戲
有兩個頂尖聰明的人在玩遊戲，遊戲規則是這樣的：
有$n$堆石子，兩我的能夠從任意一堆石子中拿任意多個石子(不能不拿)，無法拿的人失敗。問誰會勝利spa

nim遊戲是巴什博奕的升級版(不懂巴什博奕的能夠看這裏)code

它再也不是簡單的一個狀態，所以分析起來也棘手許多htm

若是說巴什博奕僅僅博弈論的一個引子的話，blog

nim遊戲就差很少算是真正的入門了遊戲

博弈分析

面對新的博弈問題，咱們按照套路，從簡單的狀況入手get

當只有一堆石子的時候，先手能夠所有拿走。先手必勝it

當有兩堆石子且石子個數相同的時候，先手不論拿多少，後手均可以從另外一堆中拿一樣多的石子，先手必敗，不然先手必勝io

當有三堆的時候呢？入門

當有$n$堆的時候呢？

這樣玩下去確實是很繁瑣，不過前輩們總結出了一條很是厲害的規律！

定理解析

定理

對於nim遊戲，前輩們發現了一條重要的規律！

當$n$堆石子的數量異或和等於$0$時，先手必勝，不然先手必敗

證實

設$\oplus$表示異或運算

nim遊戲的必敗態咱們是知道的，就是當前$n$堆石子的數量都爲零

設$a[i]$表示第$i$堆石子的數量，那麼當前局面就是

$0 \oplus 0 \oplus 0 \oplus \dots \oplus 0 = 0 $

對於先手來講，若是當前局面是

$a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus \dots \oplus a_n = k$

那麼必定存在某個$a_i$，它的二進制表示在最高位$k$上必定是$1$

咱們將$a_i \oplus k$，這樣就變成了

$a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus \dots \oplus a_n \oplus k = 0$

此時先手必勝

對於先手來講，若是當前局面是

$a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus \dots \oplus a_n = 0$

那麼咱們不可能將某一個$a_i$異或一個數字後使得

$a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus \dots \oplus a_n = 0$

此時先手必敗

代碼

#include<cstdio>
using namespace std;
int a[10001]; 
int main()
{
    int Test;
    scanf("%d",&Test);
    while(Test--)
    {
        int ans=0,N;
        scanf("%d",&N);
        for(int i=1;i<=N;i++) scanf("%d",&a[i]);
        for(int i=1;i<=N;i++) ans=ans^a[i];
        ans==0?printf("No\n"):printf("Yes\n");
    }
    return 0;
}