小球自由落體動態模擬（Position Based Simulation）

　　在過去的幾十年中，基於物理的三維物體動態模擬成爲了計算機圖形學的研究熱點，其中最多見的方法是基於力（force-based）的模擬方法，好比彈簧質點模型（http://www.cnblogs.com/shushen/p/5473264.html），它把物體抽象成一系列質點以及鏈接這些質點的彈簧，而後經過離散化牛頓運動定律來模擬物體的運動狀況。最近，基於位置的模擬方法在剛體、彈性體以及流體模擬方面都取得了不錯的效果，基於位置（position-based）的模擬方法雖然沒有基於力的模擬方法計算準確，可是它計算快速穩定，使其適用於實時交互應用領域。下面將詳細介紹基於位置模擬算法的主要原理。

　　基於位置的模擬方法將研究物體抽象成N個粒子和M個限制條件的集合，整個算法流程如上圖所示。首先初始化每一個粒子的位置x_i⁰和速度v_i⁰（第1-3行），而後對於時間步長Δt而言，經過歐拉積分方法獲得粒子下一時刻新的位置（第5-6行），新的位置p_i並非下一時刻的最終位置，而是下一時刻的預測位置，接着生成限制條件（第7行），並經過迭代方法不斷修正預測位置p_i使其知足限制條件（第8-10行），最後利用修正後的預測位置更新下一時刻的最終位置x_i和速度v_i（第11-14行）。

　　假設限制條件：C(x) = 0，一階泰勒展開獲得：，因而位置修正量爲：。

　　一種最簡單的限制條件是距離限制，以兩個粒子爲例，其距離限制函數爲：

　　那麼距離限制函數對各自的位置導數分別爲：

其中。

　　因而能夠獲得粒子的位置修正量爲：

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參考文獻：

[1] Bender, Jan, et al. "A Survey on Position-Based Simulation Methods in Computer Graphics." Computer Graphics Forum 33.6 (2014): 228-251.