高等數學和數學分析教材推薦及其學習方法淺談

無論哪一個科目的教材選擇，一旦決定要學我總試圖找一本較好的來，次一點的我也懶得花時間精力投入在上面——這就是個人完美主義情節！當我進入大學想自學高等數學時，我也一樣試圖去找一本較好的教材。

剛找的時候，網上不少人推薦同濟大學的那本高等數學書，說是好多學校都在用，又由於同濟大學在國內也算是名牌，基於這兩個因素我就開始用它來學習高等數學，可是跟着這本書學了一段時間後，我常常會就課本上的內容問一些更深刻的問題，也就是說這本書對於我來講在一些細節上沒有進行深刻，或在一些內容的講解上不夠完全（好比說洛必達法則爲何也適用於x→∞時的0/0型未定式該書第七版上就根本沒有證實，僅僅是告訴你個結論），當我總是帶着這類問題去請教別人的時候，有人就建議說：若是我想好好學習大學數學的話那麼就不要在高等數學上浪費時間，去看數學分析的書，由於數學分析的書講得更全面、更透徹，就這樣我告別了同濟大學的高數書（這本書估計仍是不太好，其不足之處這裏的討論也頗有道理），接下來的任務就是去找一本好一點數學分析教材（後文我還會推薦高數學習用書，別走開）。

我在網上看了好多數學分析教材推薦的帖子，綜合這些帖子裏各本書被說起的頻繁程度、網友的好評度還有做者的名氣，我羅列了以下一個供選擇的書單：

1. 常庚哲，史濟懷，《數學分析教程》

2. 陳紀修，於崇華，金路，《數學分析》

3. 華東師範大學數學系，《數學分析》

4. 張築生，《數學分析新講》

5. 菲赫金哥爾茨，《微積分學教程》

6. 華羅庚，《高等數學引論》

7. 柯朗，約翰，《微積分和數學分析引論（中文版）》

8. 小平邦彥，《微積分入門》

9. 陶哲軒，《實分析》

10. Walter Rudin，《數學分析原理》

11. Adrian Banner，《普林斯頓微積分讀本》

每本我大致上都看過一下，但最終未能看完其中任何一本的四分之一，究其緣由，一是這些書基本上都講得太詳細了，裏面涉及數學分析的各類細枝末節，概念和內容都比較多，而且還有好多證實，這些內容理解掌握起來並非很容易，在用這些書的學習過程當中我常常碰到理解不了或者要花很長時間才能解決的問題，好比說一開始除了要弄清楚爲何要學習實數基本理論這個大問題外，每一個人都不得不面對的另一大阻礙是對極限的 (ε, δ)定義的理解，這個嚴謹的極限定義一會兒就把本來看似簡單直觀好理解的極限概念變得面目全非、不知所云起來，不花一番大功夫是很難理解這種表述的意義的。我嘗試過對這個極限定義的囫圇吞棗——能用所謂的(ε, δ)語言證實極限，可是每當這樣作的時候我心中仍是沒有多少底氣，也不知道本身在幹什麼，即使是硬着頭皮日後學，但對該定義的不理解始終讓我耿耿於懷。對於一個初學者來講，若不花長時間和下苦功夫是很難完全搞懂這些內容的。用這些書學起來太慢，也比較困難，以致於時常給我帶來學習高等數學的挫敗感，因此最終我未能用這些書堅持學下去。我差很少有過三次用這些書屢學屢敗的高數學習經歷，後來我認識到這些寫得較爲全面詳細的書基本上是不適於初學者用來自學的，緣由且看下文。

在懷着高數難學的挫敗感停滯學習一段時間後，我發現了美國俄亥俄州立大學的Calculus One (https://www.coursera.org/learn/calculus1/)課程，它算是高數的入門課，課程裏不講讓不少人不知所云的極限 (ε, δ)定義，而是用直觀易理解的方式講解了高數裏的基本概念和原理，我一開始對這種減去嚴謹極限定義的教學方式也是有點不放心，但想着老美總有本身的教學理念和想法，何況仍是美國名校出的課程，因此就暫時放下了這種糾結跟着課程走。在學了三四個單元以後我發現跟着這個課程能夠把高數學下去了！好高興！終於沒有再出現屢學屢敗的高數學習情況了！就這樣個人高數學習信心又慢慢地創建起來了！「每一個教學視頻的開頭和結尾帶感的音樂、極其富有激情的講師、簡單直觀的講解方式」——這一切讓我漸漸地喜歡上了這個課程。在完成了這個課程三分之二內容後，我在該課程的學習中碰到了一個邁不過去的問題，我開始放下這個課程去思考這個問題，同時也去思考高數和數學裏的一些基本問題，如公理、實數理論等。

當咱們在用一本書（或跟一門課）學習的時候，基本上不可能不在學習中產生疑問，除去咱們本身的緣由以外，也有書本的緣由：正如人無完人同樣，沒有哪一本書是完美無瑕的，以致於能解決你在該科目學習過程當中的全部問題，因此我強烈建議自學者除了選一本較好的教材做爲學習主軸後也要再多找幾本同類教材做參考書，以便一本書上的知識點講解看不懂的時候能夠看另外一本上的來打開思路。若看書也不能解決問題，那麼還能夠把你的數學問題用英文寫了發在Mathematics Stack Exchange這個網絡社區裏問一問，老外們樂於助人的品質、對數學的熱情、認真負責的態度都很感染我——向他們學習！順便一提：中學時期看不懂教材咱們能夠買不少參考書來看，但到大學來想找本參考書就不太容易了，緣由之一我想是高等教育領域的應試教育市場經濟不夠繁榮所致。

再回來講Calculus One這個課程，它是很不錯的入門課，能夠把初學者領進高數學習的大門。該課程不講極限的 (ε, δ)定義極有多是考慮到了該課程的受衆——高數初學者，相反若是一開始就帶初學者去折騰實數基本理論和這個嚴謹的極限定義，那麼正如你我認識到的那樣，這很大程度上會給初學者帶來高數學習的挫敗感和畏難情緒，我在高數自學過程當中就走過這條坎坷路，也還好找到了這個課程，今後終於能夠把高數學下去！後來我又瞭解到：即使是國外名校的數學系課程也基本上是先開這種入門課，課程名一般是Calculus（微積分，至關於國內的「高等數學」），甚至還會有更基礎、更簡單的微積分先修課程PreCalculus，等學生掌握了基礎課程後纔會開數學分析之類的深度課程。這種按部就班、由易到難的安排有效下降了高數學習的難度，也體現了一種對新手的關懷。在這裏我摘錄美國幾所大學的高數入門和深刻課程的前後順序給你們看下（課號大的課都是安排在後面上的）：

斯坦福大學數學系

Math 19	Calculus（至關於「高數入門課」）
Math 205A	Real Analysis（至關於「數學分析」）

普林斯頓數學系

MAT 103	Calculus I
MAT 215	Honors Analysis (Single Variable)

麻省理工學院數學系

18.01	Calculus
18.100A / 1001	Real Analysis

國內高數教學又是怎樣的情況？！在此我不想多抱怨，只是認識到：在國內若是想要學好高等數學的話，「自學」應該是絕大多數人的不二之選。

對於一個想要學習高數的人來講，首先應該弄清楚的是本身的角色——初學者。在我看來，高數初學者一開始不用學得那麼全面，甚至不用去管極限的 (ε, δ)定義，而是要先觀其大略地過它一遍、先入門，這並不是是蜻蜓點水，而是要理解核心思想、掌握主幹，等掌握了大略以後再深刻細節會輕鬆不少，這樣纔不會一開始學就被各類細枝末節繞得雲裏霧裏的以致於不能對這門學科有全局的把握，咱們要有的是一個按部就班的過程！北京大學的張築生教授也在其《數學分析新講》的序言裏表達了一樣的觀點：「微積分原本是一件完整的藝術傑做，如今卻被拆成碎片，對每一細部進行詳盡的、瑣細的考察。每一細節都弄得很清楚了，完整的藝術形象卻消失了。今日的初學者在很長一段時間裏只見樹木不見森林……咱們但願儘量早一點讓初學者對分析的全貌有一個輪廓的印象，儘量早一點讓初學者學會用分析的方法去解決問題……等到學生對全貌有了初步的印象以後，再具體進行涉及細節的討論……」（題外話：雖然張老師在寫他這本教材的時候也有了這種考量，但這本書在我看來仍是寫得過於詳細繁瑣了些）這種先觀大略的學習方法也適合其餘科目的學習，《斯坦福大學公開課：編程方法學》裏也提到過這種方法

「工欲善其事，必先利其器」，爲了作到高數學習上面的「先觀大略」，我推薦的入門教材是Morris Kline的 Calculus: An Intuitive and Physical Approach (Second Edition)（可在Google Play上購買），這本書可說就是爲此而生的——各位讀完該書的第二版序言（PREFACE TO THE FIRST EDITION）後便知，我推薦每一個想要學好高數的人都去看看這個序言，大有裨益！下面我轉述序言中幾個可能會對你們學習有幫助的觀點。

微積分入門課的教學有嚴謹和直觀兩種方式，Morris Kline認爲應該採用直觀的方式進行，而且在教學中應該多談其應用，嚴謹的方式適合於微積分的高階課程。入門課就用嚴謹的方式（我認爲這是當今國內的廣泛作法）有如下幾種弊端：其一，嚴謹的方式要求初學者學習不少微妙、難以捉摸的概念，這對初學者來講是頗有難度的，更況且有些概念的提出還曾困擾了數學家兩百年之久。在那個爲微積分創建嚴謹基礎的時代裏，即使是柯西（Cauchy）這樣的大數學家也搞混了連續和可導（continuity and differentiability）、收斂和一致收斂（convergence and uniform convergence）間的區別。其二，若是一個學生要學懂一個概念或定理的嚴謹化表述，那麼在這以前他必須知道這種嚴謹化表述所要傳達的思想的雛形是什麼、起始時的直觀思想是什麼（這就極可能須要去看相關的數學史，順便一提：看數學史對咱們學習數學也是很是有幫助的），進而纔可能理解嚴謹化表述的意義——嚴謹化表述爲何可以避免直觀化表達的不足、嚴謹化表述所要獲得的是什麼樣的結果和傳達什麼樣的思想，這就勢必會增長學生的學習量，而一個初學者若要循此道學習，那麼他要學習的內容將會是很是龐大的，以致於可想而知的是他的學習進度會很慢，他也極有可能會陷入這門學科的細枝末節中糾纏不清，進而看不清這門學科的全貌；其三，讓初學者一開始就學習通過嚴謹化整理出來的內容會讓他們看不到知識的產生過程，也容易讓他們覺得：「高等數學是推導出來的，創建這門學科的每一步都是有根有據、正確無疑的，好的數學家的思考方式也是一步一步走的、在出結論以前全部的細節都已經縝密地處理好」，但實際上並不是都如此，數學知識的產生也是能夠經過「認識到以前的作法有問題，而後再改正」來產生的， 「微積分這座大廈是從上往下施工建造起來的。微積分誕生之初就顯示了強大的威力，解決了許多過去認爲是遙不可及的困難問題，取得了輝煌的勝利。創始微積分的大師們着眼於發展強有力的方法，解決各式各樣的問題。他們沒有來得及爲這門新學科創建起經得起推敲的嚴格的理論基礎。在之後的發展中，後繼者纔對邏輯的細節做了逐一的修補」（選自張築生《數學分析新講》的序言），也就是說數學家的思惟方式並不是老是按部就班的，他們的思惟方式也能夠是跳躍性的、天馬行空的，也有可能不嚴謹或出錯，並不是像寫證實過程那樣很是講究每一個點的前後順序、是一步一步走到最終結論的，有時候甚至是先有「猜測」而後纔去求證中間過程的。Morris Kline在他這本書中也經過展現數學理論是能夠經過先猜測，而後嘗試和摸索，進而認識到犯錯了，而後再更正的方式探索出來的，這種作法我認爲頗有價值，由於它向初學者完整地揭示數學理論產生的思路歷程，向咱們展現瞭如何研究數學，這也避免了咱們看有些別的同類書時碰到的一些匪夷所思的「神來之筆」時所產生的驚奇——爲何做者會想到這個變換、這種構造？

嚴謹化在數學裏有其重要意義，它是對起始時的想法的核實、對初步想法的精煉，能夠避免直覺可能帶來的錯誤或遺漏之處，但如Henri Lebesgue（亨利·勒貝格，著名數學家）所說：「嚴謹化、邏輯化能夠幫助咱們否認猜測和假設，可是它不能創造任何猜測和假設。」 數學的核心思想來源於直觀思惟，嚴謹化並不能對這些數學思想產生質的改觀，它起到的做用只是鞏固和對這些思想的去僞存真。此外，嚴謹的表達方式不容易掌握，對咱們理解數學思想的幫助也不大，因此嚴謹化方式的微積分入門課教學對初學者是不利的， Morris Kline引用Samuel Johnson（英國做家、文學評論家和詩人）的話對這種方式的教學效果評價到：「我爲你提供了它的證實過程，可是幫助你理解它並非個人義務。」

Morris Kline也談到了好多高等數學入門教材共有的一個嚴重問題——把數學和它的應用徹底割裂開來。這些書裏基本都是些符號的演算，也差很少全然不談數學理論的運用，乍看之下會讓人以爲高等數學就是一堆折騰符號的玩意兒，寫這些書的人忽略的大問題是：學習微積分這門課程的很多學生將來將會是工程師或科學家，他們必須知道怎麼應用微積分、應用數學才行，若是隻是教他們折騰符號、搞些不知所云的、看不到什麼應用的證實，那麼整個數學教育的意義便會大打折扣。

經過以上這些Morris Kline的觀點，你們或許也和我同樣感覺到了他對初學者的微積分教學的深入認識，也正是如此我才推薦初學者去看他這本書。我首先接觸到的Morris Kline的書是《Mathematical Thought from Ancient to Modern Times》（中譯本：古今數學思想），看過幾個章節¹後便深深佩服其對數學本質及其發展史的深入認識，後來又看到這個書的序言後就更是對Morris Kline佩服無比了，今後自認爲他是個人數學導師！

我上文「建議自學者選一本較好的教材做爲學習主軸後再多找幾本同類教材做參考書，以便一本書上的知識點講解看不懂的時候能夠看另外一本上的來打開思路」，我我的經常使用的兩本高數學習輔助教材（參考書）分別是Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis(Reprint of the 1989 edition) 和 陳紀修、於崇華、金路的《數學分析》。

各位學完如上面推薦的這種入門教材後，若要深刻學習高數，能夠看Richard Courant, Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis(Reprint of the 1989 edition)，這本書也是大師之做，該書的一大難能難得之處在於對一些數學定理的揭示，做者僅用很直白的語言敘述就可讓讀者洞見定理的本質，每當看到這種內容時我不由感嘆：「原來如此！做者的功力也太深厚了吧！」而國內的書多半傾向於用各類符號去證實定理的正確性，這些證實不是很好掌握，我我的看後一般的感觸是「該定理正確」，而後並無什麼深入的認識，更別說和以前學過的知識融會貫通了。與這本書對應的輔助教材我就暫時沒法推薦了，由於我尚未深刻學習高數。

上面給你們推薦的這兩本皆是英文教材，爲何要看英文版呢？由於優秀的中文學習資料不太多，因此想只用中文資料學好科學或技術類學科的支援不太多，學起來會很費勁，而且這年頭英語是學術界的主流語言，不少新的、一流的資料都用英文寫成，也就是說優秀的英文學習資源是比較豐富的，在優質資源充裕的環境裏學習會不會更好更輕鬆呢？你們自有評判！其實閱讀英文寫的專業資料並非太難，若是大學以前的那些英文語法和單詞你掌握得都還行，那麼接下來你在英文版專業資料閱讀過程當中主要的障礙是陌生單詞多的問題，對此你們找個詞典軟件輔助閱讀就會順暢不少，好比有道詞典、歐路詞典之類的，固然也能夠考慮使用個人英酷詞典，它主要就是爲助力咱們的英文閱讀而生的。若是你不能作到通暢閱讀英文但還有個科學夢的話，那麼你實現夢想的概率是不過高的。你也許會問：看中譯本行不行？若是你看的是小說傳記之類的對逐字逐句準確度要求不高的書，那麼能夠看，但若要看如高數之類的對逐字逐句準確度要求較高的書的話，那麼看中譯本很難行！主要問題是中文翻譯不容易作到準確傳達英文原版的意思（這要求譯者花費大量心思去儘量地作到準確翻譯，然而由於各類緣由鮮有這種高標準翻譯的促成），這就會致使翻譯過來的內容有失真或曲解的狀況，以致於中譯本的讀者讀起來在理解內容上很費力，花了不少功夫嘗試去理解而最終卻無果的狀況也很多有，然而這時候要再去看下英文原版，原來的疑惑極可能忽然就撥雲見日了——全是翻譯問題搞的鬼！ 整體來講高數算是西學，而咱們用的中文版高數教材的不少定理的名稱都是翻譯過來的，這些翻譯顯得頗有「文言功底」，我認爲這是很差的翻譯，由於當代人看起來不易見名會義，而看英文版的教材的話很大程度上可以避免這個問題。

固然，若是你對高數學習的追求不過高，也不想攻克英文閱讀這道難關，或一時半會還沒法達到能看英文教材的水平，那麼我建議去看的中文高數入門教材是謝緒愷的《高數筆談》，這本書我沒看過，不過聽說²：

謝緒愷深感高數教材內容偏重演繹推理，學生學習起來很是吃力，讓他總以爲內心不安。因而在2015年，90歲時謝老便萌生了一個願望：寫一本接地氣的高數參考書，讓學生儘快掌握高數這塊工科「敲門磚」——《高數筆談》。

謝老前輩很和善，和錢學森、楊振寧皆有接觸³，推薦你們看看這個關於他的視頻。

以上就是我自學高數探索出來的一些經驗總結，但願後來者看後有必定幫助。本篇成文於2018年10月16日，文中所描述的一些事實可能會隨着時間的推移而發生變化，請讀者自行分辨！

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1. 有興趣的讀者能夠看一下我當時閱讀的摘要與記錄：

   1 http://note.youdao.com/noteshare?id=9ca0f5339ecc3c7f6609586fbdd08a2a

   2 http://note.youdao.com/noteshare?id=f82a304770a7d71cd899b3001d2571b8↩

2. 東大退休九旬老教授爲學生手寫「一看就懂」的高數書 https://www.jianshu.com/p/add9bf71187d↩

3. 「一讀就懂」的高數書是如何寫就的——東北大學92歲退休教授謝緒愷的學術人生http://epaper.gmw.cn/gmrb/html/2017-07/17/nw.D110000gmrb_20170717_1-05.htm↩