碼農眼中的數學之～數學基礎

時間  2019-11-07
標籤 眼中 數學 基礎 欄目 應用數學 简体版
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寫在前面：文章裏面的圖片公式都是逆天一個個打出來畫出來的，公式系列基本上都提供了源碼html

圖片基本上不太加水印了，加了的也留了空間可讓你裁剪去水印，這樣你引用也比較方便 ～python

可是仍是想說下：」加個參考連接唄，逆天寫做也不容易啊～「git

在線預覽：http://github.lesschina.com/python/ai/math/數學基礎.htmlgithub

1.基礎概念

線性代數研究的是什麼內容？算法

  1. 把2維世界轉換成2維的世界
  2. 把3維世界轉換成2維的世界
  3. 把2維世界轉換成3維的世界

1維直線、2維平面（長寬）、3維空間（長寬高 | xyz軸）、4維時空（xyz軸+時間軸）app

學習中主要就是學習矩陣、向量等，理解線性映射、特徵值和特徵向量等。less

總結：線性代數就是一門將M維世界與N維世界聯繫起來的學科函數

1.1.數的分類

一開始人們用的數都是 天然數 (0、一、2...)來計算學習

後來發現用小數減大數就無法計算了。eg：1-2=?測試

接着就引入了負數，而後經常使用的數就變成了 整數 (正整數、0、負整數)，這樣就能夠快樂的加減乘運算

整數：

  • 天然數
  • 負數

後來發現，像1/3=?這類的不能整除了，因而就引入了分數，

這樣數的界限又擴充了，就叫 有理數 ，這樣加減乘除均可以經過分數來表示了

有理數（分數）：

  • 整數
    • 正整數
    • 0
    • 負整數

好景不長，以後求圓面積啥的，又發現了像π、√3這類的，無法用分數表示的數，

因而就又在原有基礎上擴展了，加入了無理數，數的界限又擴展了==> 實數

實數（小數）：

  1. 有理數（分數）
    • 整數
      • 正整數
      • 0
      • 負整數
    • 非整數的有理數
  2. 無理數

這下總算能夠了吧，可事實每每出乎意料，像二次曲線求解有無解的狀況（曲線跟x軸不相交）

這太不科學了吧，而後就引入了 虛數i 的概念，並定義i²=-1，數的範圍又擴大了，就叫 複數

舉個例子(後面有推導)：

$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$$

之前咱們遇到：x²+3=0，由於判別式b²-4ac<0 因此方程無解（或者曲線畫出來，看跟x軸有幾個交點==>就說明有幾個解）

其實咱們中學學的這個無解，指的是在實數範圍內無解

引入虛數後：x²+3=0==> x²-(-3)=0，由於i²=-1 ==> (x+√3i)(x-√3i)=0 有解了

In [1]: 
# 畫個圖看看曲線長什麼樣
import matplotlib.pyplot as plt
In [2]: 
# 生成x和y的值
x_list = list(range(-10, 11))
y_list = [x**2 + 3 for x in x_list] # 2**3 ==> 8 **是Python裏面的冪運算符

print(x_list)
print(y_list)

# 畫圖
plt.plot(x_list, y_list)
# 顯示圖片
plt.show()
  
[-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]
[103, 84, 67, 52, 39, 28, 19, 12, 7, 4, 3, 4, 7, 12, 19, 28, 39, 52, 67, 84, 103]
 
 

綜上所述，數能夠分爲：

複數：z = a+bi，i² = -1

  1. 實數（虛部b=0）
    • 有理數
      1. 整數
        • 正整數：一、二、3
        • 0
        • 負整數：-一、-二、-3
      2. 非整數的有理數（[正負]分數）
        • [正負]有限小數：0.3 ==> (3/10)
        • [正負]循環小數：0.3333... (1/3)
    • 無理數
      • 無限不循環小數：π、√3
  2. 虛數（虛部b!=0）
    • 純虛數（虛部b!=0，且實部a=0）
    • 非純虛數

擴展：二次方程求解公式的推導

這個應該是初中學的，不少學校教數學就讓背公式，其實這樣容易忘記（你好幾年不接觸數學公式還記得？）會推導纔是根本 ：

其實不只僅是數學公式了，不少程序中的算法也是這樣，都是須要推導的，否則只能用而不能深究，就更不提創新了。不扯了，進入正題：

$\mathbf{ax^2+bx+c=0（a\neq0)}$

要求x，那咱們先兩邊同時除以a：

$\mathbf{x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0}$

把和x不要緊的常數移到等號另外一邊：

$\mathbf{x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}}$

看到左邊就想到了 ==> $x^2+2ax+a^2$ 咱們來湊一下：

$\mathbf{x^2+2*\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}}$

由於：$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$ 因此能夠轉換成：

$\mathbf{(x+\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}}$

把右邊化簡一下：

$\mathbf{(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

去左邊平方（右邊開根號）：

$\mathbf{x+\frac{b}{2a}=\frac{ \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

把左邊的常數移過去：

$\mathbf{x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

方便有需求的人，推導過程的源碼貼一下：

$ax^2+bx+c=0（a\neq0)$

要求x，那咱們先兩邊同時除以a：

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

把和x不要緊的常數移到等號另外一邊：

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

看到左邊就想到了 ==> $x^2+2ax+a^2$ 咱們來湊一下：

$x^2+2*\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$

由於：$x^2+2ax+a^2=(x+a)^2$ 因此能夠轉換成：

$(x+\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$

把右邊化簡一下：

$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

去左邊平方（右邊開根號）：

$x+\frac{b}{2a}=\frac{ \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

把左邊的常數移過去：

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

1.2.命題相關

命題中學階段就接觸了，咱們來先說說命題 ：能夠判斷真假的語句叫作命題

好比：小明是個男的，這個無論對錯確定有個肯定的答案

再好比：小明是活潑好學的孩子，這個就不必定了，公說公有理婆說婆有理，這種結果模糊不肯定的就不是命題

充分條件和必要條件

這個時間長了容易混淆，舉個例子：小明是人類，人類是小明

經過小明確定能推出他是我的，這個就叫必要條件

人就必定是小明嗎？不必定吧 ==> 這個就是充分條件

若是P成立，Q就成立是真命題時，就能夠表示爲：P=>Q （由P確定能推導出Q）（eg：小明=>人）:

  1. P是Q的必要條件
  2. Q是P的充分條件

充分必要條件：

若是P=>Q，並且Q=>P，那麼：

  1. P是Q的充分必要條件
  2. Q是P的充分必要條件

表示爲：P<=>Q

1.3.集合系列

集合應該是剛上高中那會教的內容，咱們來看看：

集合 （Python裏面用 set 來表示）：某種特定性質的對象，彙總成的集體(人以類聚,物以羣分) 這些對象稱爲該集合的元素。

集合中的元素有三個特徵：

  1. 肯定性（集合中的元素必須是肯定的）
  2. 互異性（集合中的元素互不相同）eg：集合A={1，a}，則a不能等於1）
  3. 無序性（集合中的元素沒有前後之分）eg：集合{3,4,5}和{3,5,4}是同一個集合

表示方式，eg：10之內的偶數：

  1. X = {0, 2, 4, 6, 8}
  2. X = {2n | n = 0, 1, 2, 3, 4}

當x是X集合裏面的元素時，能夠表示爲：x ∈ X eg:2 ∈ X

In [3]: 
# Python3 Code
X = set([x for x in range(10) if x%2==0])

print(X)
  
{0, 2, 4, 6, 8}
In [4]: 
# 當x是X集合裏面的元素時，能夠表示爲：x ∈ X
# eg:2 ∈ X
2 in X
Out[4]: 
True
 

子集 ：當一個集合A裏面全部元素都屬於集合B時，稱A是B的子集。即：A ⊆ B

eg：集合A：{1,2,3} 集合B：{1,2,3,4} ==> A ⊆ B

若是兩個集合A和B的元素徹底相同，則稱A與B兩個集合相等，記爲 A=B：

集合A：{1,2,3,4} 集合B：{1,2,3,4} ==> A ⊆ B and B ⊆ A ==> A = B

真子集 ：若是集合A是集合B的子集A ⊆ B，而且集合B中至少有一個元素x∉A，那麼集合A叫作集合B的真子集

簡單講：若是A包含於B,且A不等於B,就說集合A是集合B的真子集（A有的B全有，B有的A不必定有）

若是集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，咱們就說這兩個集合有包含關係，稱集合A爲集合B的子集。可知任一集合A是自身的子集，空集是任一集合的子集。真子集就是一個集合中的元素所有是另外一個集合中的元素，但不存在相等。全部亞洲國家組成的集合是地球上全部國家組成的集合的真子集；全部天然數的集合是全部整數的集合的真子集。

In [5]: 
A = set([1,2,3])
B = set([1,2,3,4])

print(A)
print(B)
  
{1, 2, 3}
{1, 2, 3, 4}
In [6]: 
# 子集（判斷A是不是B的子集）
A.issubset(B)
Out[6]: 
True
In [7]: 
# 父集（B是不是A的父集）
B.issuperset(A)
Out[7]: 
True
In [8]: 
A = B

A.issubset(B)
Out[8]: 
True
 

並集 ：由全部屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，讀做「A並B」（或「B並A」）並集越並越多，並且沒有重複元素。

記做A∪B or B∪A，即 A∪B={x|x∈A,或x∈B}

交集 ：由屬於A且屬於B的相同元素組成的集合，讀做「A交B」（或「B交A」）交集越交越少。

記做A∩B or B∩A，即 A∩B={x|x∈A,且x∈B}

若A包含B，則A∩B=B，A∪B=A

差集 ：A，B是兩個集合，全部x∈A且x∉B的元素構成的集合，叫作集合A減集合B（或集合A與集合B之差）

相似地，對於集合A、B，咱們把集合 A-B={x∣x∈A,且x∉B} 叫作A與B的差集（把B中元素從A中減去）

補集 ：通常指絕對補集，即通常地，設S是一個集合，A是S的一個子集（S包含於A）（大前提），由S中全部不屬於A的元素組成的集合，叫作子集A在S中的絕對補集。

擴展：在集合論和數學的其餘分支中，存在補集的兩種定義：相對補集和絕對補集

In [9]: 
set1=set([1,2,5])
set2=set([2,4,6])

print(set1)
print(set2)
  
{1, 2, 5}
{2, 4, 6}
In [10]: 
# 交集 A∩B={x|x∈A,且x∈B}
set1 & set2
Out[10]: 
{2}
In [11]: 
# 並集 A∪B={x|x∈A,或x∈B}
set1 | set2
Out[11]: 
{1, 2, 4, 5, 6}
In [12]: 
# 差集 A-B={x∣x∈A,且x∉B}
set1 - set2
Out[12]: 
{1, 5}
In [13]: 
set3=set(list(range(10)))

print(set3)
  
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
In [14]: 
# 【大前提】set2是set3的一個子集（set3包含於set2）
set2.issubset(set3)
Out[14]: 
True
In [15]: 
# 這時候求差集，就等於求補集
set3 - set2
Out[15]: 
{0, 1, 3, 5, 7, 8, 9}
 

1.4.映射系列（映射、像、定義域和值域、滿單射、雙射、逆映射、線性映射等）

這個系列應該是高一的知識

1.映射與像 ：

設A,B是兩個非空的集合，若是按某一個肯定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有惟一的元素y與之對應，那麼就稱對應的規則f 爲從集合A到集合B的映射 通常這樣表示：f：A → B。其中，y稱爲元素x在映射f下的 像 ，記做：y=f(x)。

通俗講：

把使集合A的元素與集合B的元素相對應的規則叫作 「集合A到集合B的映射」

若是從A集合中取元素x，經過f獲得其對應B集合的元素y。這個新的元素就叫作：「x經過映射f造成的像」

像這個說的仍是有點抽象，舉個簡單的例子：

高中的時候常常作這樣的練習：f(x)=2x+1

用映射來解釋就是：「映射 f 是使集合B的元素 2x+1 與集合A的元素 x 相對應的規則」 映射圖示 再解釋像就簡單了：f(2)

x=2 經過 f 造成的像是 2*2+1 像圖示

2.值域和定義域：

咱們把映像f產生的值組成一個集合{f(0)、f(1)、f(2)...}，這個集合就叫作「映像f的值域」。

而x值組成的集合 {0、一、2...} 就叫作「映像f的定義域」。

這個值域的集合每每是集合B的子集：$\lbrace f(x_1)，f(x_2)...f(x_n)\rbrace \subseteq B$

好比說：f(x)=2x+1 定義域A{0、一、二、3}，那麼求出來的值域是：{一、三、五、7}，而B集合是{一、三、五、七、8} 定義域和值域

 

3.滿射、單射、雙射：

滿射：若是值域任何元素都有至少有一個變量與之對應，那這個映射就叫作滿射。

來個示意圖：f(x)=x$^2$ 滿射示意圖 其實老版本的教科書還有一種說法叫作：」當映射f的值域等於集合B時，f爲滿射「

單射：設f是由集合A到集合B的映射，若是全部x,y∈A,且x≠y，都有f(x)≠f(y),則稱f爲由A到B的單射（函數f被稱爲是單射時，對每一值域內的y，存在至多一個定義域內的x使得f(x) = y）

來個圖示：（兩種狀況都是） 單射圖示

雙射 (一一映射)：既是單射又是滿射的映射稱爲雙射

圖示：（偷個懶，拿上面的圖片改改） 雙射圖示

 

4.逆映射：

此次先不定義，先看個圖： 逆映射圖示

看完圖基本上懂了（映射g就是映射f的逆映射），如今來定義一下：

逆映射 :

當f是雙射（一一對應的單射）而且映射f和映射g知足：

  1. g(f(x))=x
  2. f(g(x))=x

那麼映射g就是映射f的逆映射，表示方式：$f^{-1}:B\rightarrow A$

5.線性映射

後面說線性迴歸之類的代碼和數學知識時會講，這邊由於也是屬於映射內容，因此簡單提一下定義：

假設 $x_1$ 和 $x_2$ 是屬於A集合中的任意元素，c 爲任意實數，f 爲從A到B的映射。

當映射f知足如下兩個條件：

  1. $f(x_1)+f(x_2)=f(x_1+x_2)$
  2. $cf(x_1)=f(cx_1)$

那麼映射f就是從A到B的線性映射

舉個例子：f(x)=x 驗證一下：是線性映射

$f(x_1)+f(x_2)=x_1+x_2=f(x_1+x_2)$

$cf(x_1)=cx_1=f(cx_1)$

再測試一個不是的：f(x)=x+1 驗證一下：

$f(x_1)+f(x_2)=x_1+x_2+2$

$f(x_1+x_2)=x_1+x_2+1$

$f(x_1)+f(x_2)\neq f(x_1+x_2)$

後面都不用驗證了，不是線性映射

 

1.5.排列組合

這個應該是高二的時候學的，簡單提一下

排列組合 ：

  1. 排列：從給定個數的元素中取出指定個數的元素進行排序
  2. 組合：從給定個數的元素中僅僅取出指定個數的元素，不考慮排序

通俗講：

組合個數：「從n箇中挑出r個的個數」 通常用 $C^r_n$ 來表示(n>=r)

$\Large {C^r_n=\frac{n!}{r!(n-r)!}}$

排列個數：「從n箇中挑出r個的個數，而後再把選好的r個事物按照順序排列的種數」 通常用 $A^r_n$ 來表示(n>=r)

$\Large {A^r_n=r!C^r_n=\frac{n!}{(n-r)!}}$

若是還抽象的話，咱們來看個案例：

小明請小潘和小張一塊兒去食堂吃飯，食堂今天總共有5個菜

1.試問，他們從5個菜中選出3個不一樣的菜，有幾種可能性？

假設有A、B、C、D、E這5個菜，那選出3個有以下組合(無論順序)：

列舉 列舉 列舉 列舉 列舉 列舉
ABC ABD ABE ACD ACE ADE
      BCD BCE BDE
          CDE

$\large {C^3_5=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5×4×3×2×1}{3×2×1×2×1}=10}$

2.試問，選出的這3個菜有幾種排放順序？

假設選出的是A、B、C這3個菜，那它的排序有幾種可能：

序號 列舉 列舉
A ABC ACB
B BAC BCA
C CAB CBA

其實不管選擇哪3種，他們的排序都是6種，3!=3×2×1=6

簡單分析一下：

第一道菜能夠在已經選好的菜裏面選1個，那就是3種可能

第二道菜能夠在剩下的2道菜中選1個，那就是2種可能（第一道剛纔選好了，已經算肯定的了）

第三道菜不用選了，由於如今只剩下1道了，那就是1種可能

因此有 3×2×1種可能==>3!=6種可能

3.試問，從5個菜中選出3個不一樣的菜，並按順序打包帶走總共有多少種可能？

排列的個數其實就是：5選3組合個數 × 3道菜可能的排序 = 10 × 6 =60

$\large {A^3_5=\frac{5!}{(5-3)!}=\frac{5×4×3×2×1}{2×1}=60}$

簡單分析推導一下：

第一個菜能夠在5道菜裏面選一個，那就是5種可能

第二道菜能夠在剩下的4道菜裏面選一個，那就是4種可能

第三道菜能夠在剩下的3道菜裏面選一個，那就是3種可能

那總共可能性就是：5×4×3=60種可能性，和上面公式計算同樣結果

排列、組合、二項式定理公式口訣：

加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無關是組合，要求有序是排列。

兩個公式兩性質，兩種思想和方法。概括出排列組合，應用問題須轉化。

排列組合在一塊兒，先選後排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。

不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恆等式，定義證實建模試。

關於二項式定理，中國楊輝三角形。兩條性質兩公式，函數賦值變換式。
 

1.5.高中函數附錄

之前在網上找的資料，大家有更好的能夠貼一下（點我查看）

1.6.高中數學公式

之前在網上找的資料，大家有更好的能夠貼一下（點我查看）

2.矩陣預告

下次和Numpy一塊兒講，這樣纔會～數學不枯燥，代碼不空洞

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