密碼學數學基礎

密碼學數學基礎

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羣

定義

設<G,*>是代數系統，其中G是非空集合，在G中定義了一個二元運算*（即對G中任意a,b有G中惟一元素（記爲a*b）與之對應），且知足以下規律：
1.封閉性。對任意a,b∈G，總有a*b∈G
2.結合律。a*(b*c)=(a*b)*c，（對任意的a,b,c∈G）
3.（恆元）存在e∈G，使得e*a=a（對任意的a∈G）
4.（逆元）對任意的a∈G，總存在b屬於G，b*a=e

半羣

<S,*>是一個代數系統，其中S是非空集合，*是S上的一個二元運算（運算*是封閉的），若是運算*是知足結合律的，則稱<S,*>爲半羣。

幺半羣

存在生成元的半羣即爲幺半羣。

阿貝爾羣（交換羣）

它由自身的集合G和二元運算*構成。它除了知足通常的羣公理，即運算的結合律、G有單位元、全部G的元素都有逆元以外，還知足交換律公理。由於阿貝爾羣的羣運算知足交換律和結合律，羣元素乘積的值與乘法運算時的次序無關。

環

定義

設<R,+,·>是代數系統，R爲集合，+，·爲二元運算，若是
(1)<R,+>爲阿貝爾羣，
(2)<R,·>爲半羣，
(3)乘法「·」對加法「+」適合分配率，即對任何a,b,c∈R，有
    a·(b+c)=(a·b)+(a·c)
    (a+b)·c=(a·c)+(b·c)
則稱<R,+,·>是環

剩餘類環

剩餘類集Zn={0,1,2,...,(n-1)}，Zn中每一個整數表明一個剩餘類，有事也記爲Zn={[0],[1],[2],...,[n-1]}。
運算定義：
    [a]+[b]=[a+b]
    [a]·[b]=[a·b]

零因子

元素a,b稱零因子，若是a≠0,b≠0，但a·b=0。環中沒有這樣的元素，則說環中無零因子。

域

定義

若環<A,+,·>去掉0元的<A-[0],·>是交換羣，則<A,+,·>爲域。即：
(1)<A,+>是交換羣
(2)<A*,·>是交換羣
(3)運算「·」對於運算「+」是可分配的