【XSY3309】Dreamweaver 高斯消元 拉格朗日插值

題目大意

　　這是一道通訊題。

　　給你 \(8\) 個 \(32\) 位整數。加密端要把這些數加密成至少 \(1000\) 個 \(32\) 位整數，交互庫會把這些整數隨機打亂後發給解密端，解密端最多能得到其中 \(lim\) 個的值，解密端要按順序給出這 \(8\) 個整數。

　　交互庫會測試 \(100\) 次。

　　對於 \(lim\geq 50\) 的測試點，要求 \(100\%\) 的正確率。

　　對於 \(lim\geq 20\) 的測試點，要求 \(90\%\) 的正確率。

　　對於 \(lim\geq 17\) 的測試點，要求 \(50\%\) 的正確率。

題解

解法一

　　先把這些數拆成 \(16\) 個 \(16\) 位整數。

　　而後每次隨機選一些數異或到一塊兒，前 \(16\) 位爲這些數的異或值，後 \(16\) 位爲選了那些數。

　　解密端隨機 \(lim\) 個數，求出這些數能不能解出原來的 \(16\) 個數。

　　若是 \(lim\times 16\) 的矩陣滿秩就能求出。

　　\(17\times 16\) 的矩陣滿秩的機率約爲 \(58\%\)。

　　\(20\times 16\) 的矩陣滿秩的機率約爲 \(94\%\)。

　　\(50\times 16\) 的矩陣滿秩的機率約爲 \(100\%\)。

解法二

　　仍是先把這些數拆成 \(16\) 個 \(16\) 位整數，記爲 \(a_0,a_1,\ldots,a_{15}\)。

　　記 \(f(x)=\sum_{i=0}^{15}a_ix^i\)。

　　取一個合適大小的整數 \(p\)。

　　對於 \(0\leq i<1000\)，返回 \(i+(f(i)\bmod p)\times 1000\)。

　　解密端隨便選 \(16\) 個數就能插值插出 \(a_0,a_1,\ldots,a_{15}\)。

　　正確率爲 \(100\%\)。

代碼

解法一

#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
vector<int>encode(vector<int>arr,int lim)
{
    static unsigned a[100];
    for(int i=0;i<16;i++)
        a[i]=0;
    for(int i=0;i<8;i++)
    {
        unsigned v=arr[i];
        a[i*2]=v&((1<<16)-1);
        a[i*2+1]=v>>16;
    }
    for(int i=0;i<16;i++)
        a[i]|=1<<(i+16);
    vector<int>vec;
    for(int i=0;i<1<<16;i++)
    {
        unsigned s=0;
        for(int j=0;j<16;j++)
            if((i>>j)&1)
                s^=a[j];
        vec.push_back(s);
    }
    return vec;
}
static unsigned seed=1932532;
static unsigned get()
{
    seed^=seed<<13;
    seed^=seed>>17;
    seed^=seed<<5;
    return seed;
}
vector<int>decode(int(*const arr)(int),int n,int lim){
    static unsigned a[100],b[1000000],c[1000000];
    for(int i=0;i<1<<16;i++)
        c[i]=i;
    for(int i=0;i<1<<16;i++)
    {
        int y=get()%(i+1);
        if(y!=i)
            swap(c[i],c[y]);
    }
    for(int i=0;i<lim;i++)
        b[i]=arr(c[i]);
    vector<int>vec;
    for(int i=0;i<16;i++)
    {
        int x=lim;
        for(int j=i;j<lim;j++)
            if(b[j]&(1<<(16+i)))
            {
                x=j;
                break;
            }
        if(x>=lim)
        {
            for(int i=0;i<8;i++)
                vec.push_back(0);
            return vec;
        }
        if(x!=i)
            swap(b[x],b[i]);
        for(int j=0;j<lim;j++)
            if(j!=i&&(b[j]&(1<<(16+i))))
                b[j]^=b[i];
    }
    for(int i=0;i<16;i++)
        b[i]&=(1<<16)-1;
    for(int i=0;i<8;i++)
        vec.push_back((b[i*2+1]<<16)|b[i*2]);
    return vec;
}

解法二

#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
static const ll p=100003;
vector<int>encode(vector<int>arr,int lim)
{
    static unsigned a[100];
    for(int i=0;i<16;i++)
        a[i]=0;
    for(int i=0;i<8;i++)
    {
        unsigned v=arr[i];
        a[i*2]=v&((1<<16)-1);
        a[i*2+1]=v>>16;
    }
    vector<int> vec;
    for(int i=0;i<1000;i++)
    {
        ll s=0;
        for(int j=15;j>=0;j--)
            s=(s*i+a[j])%p;
        vec.push_back(i+s*1000);
    }
    return vec;
}
static ll fp(ll a,ll b)
{
    ll s=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
        if(b&1)
            s=s*a%p;
    return s;
}
vector<int>decode(int(*const arr)(int),int n,int lim){
    static unsigned a[100],b[100];
    static ll x[1000],y[1000],ans[1000],e[1000];
    for(int i=0;i<16;i++)
    {
        b[i]=arr(i);
        x[i]=b[i]%1000;
        y[i]=b[i]/1000;
    }
    for(int i=0;i<16;i++)
        ans[i]=0;
    for(int i=0;i<16;i++)
    {
        for(int j=0;j<16;j++)
            e[j]=0;
        e[0]=1;
        for(int j=0;j<16;j++)
            if(j!=i)
            {
                for(int k=15;k>=0;k--)
                {
                    e[k+1]=(e[k+1]+e[k])%p;
                    e[k]=-e[k]*x[j]%p;
                }
            }
        ll s=y[i];
        for(int j=0;j<16;j++)
            if(j!=i)
                s=s*fp(x[i]-x[j],p-2)%p;
        for(int j=0;j<16;j++)
        {
            e[j]=e[j]*s%p;
            ans[j]=(ans[j]+e[j])%p;
        }
    }
    for(int i=0;i<16;i++)
        a[i]=(ans[i]+p)%p;
    vector<int>vec;
    for(int i=0;i<8;i++)
        vec.push_back((a[i*2+1]<<16)|a[i*2]);
    return vec;
}