量子糾纏1——量子比特、Bell態、EPR佯謬

量子糾纏是量子物理的基本性質，他描述的是：當幾個粒子相互做用後，沒法單獨描述各個粒子的性質，只能總體描述，本文主要介紹兩個量子比特之間的糾纏。

量子比特（Qubit）

量子比特是量子計算的基本單位，就像經典比特是經典計算的基本單位同樣。

可是不一樣的是，經典比特是肯定的，他能夠是0，也能夠是1，可是必定是肯定的0或者1，而量子比特則多是 $| 0\rangle $ ，多是 $| 1\rangle $ ，也多是 \(\alpha_0\) 的平方几率的 $| 0\rangle $ 加上 \(\alpha_1\) 的平方几率的 $| 1\rangle $ ，即所謂的疊加態，用數學來描述以下： \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) （ $\alpha_0 $ 和 $\alpha_1 $ 是複數， \(\alpha_0 ^2+\alpha_1 ^2=1\) ）。在此忽然提到的 \(| 0\rangle\) 是狄拉克符號，目前就把它看成是0、1就好。

疊加態是一種存在，可是不能觀測的態。在你沒有觀測的時候，粒子多是 \(| 0\rangle\) 也多是 \(| 1\rangle\) ，可是當你觀測了，他就會以 \(\alpha_0\) 的平方几率肯定本身在 \(| 0\rangle\) ，或者以 \(\alpha_1\) 的平方几率肯定本身在 \(| 1\rangle\) ，不管結果是什麼，他會肯定一個狀態，再次測量也不會變。

量子比特的物理實體

經典比特，咱們用高電平表示1，低電平表示0，那麼量子比特呢？

顯然，並無一種電平能夠必定機率低，必定機率高，可是粒子能夠，粒子能夠以必定機率處於低能級又必定機率處於高能級。

以氫原子舉例，當電子在基態的時候，咱們用 \(| 0\rangle\) 來描述，當電子在激發態的時候，咱們用 \(| 1\rangle\) 來描述。

固然粒子除了氫原子還有其餘，那麼能級也就可能不只僅是基態、激發態，將會有第一激發態、第二激發態等，這就是k-level system，咱們的表示也就是 \(| 0\rangle\) 、 \(| 1\rangle\) 、 \(| 2\rangle\) 了，不過通常，咱們都選擇兩個能級的，只用 \(| 0\rangle\) 、 \(| 1\rangle\) 來描述。

除了粒子，光的偏振也能用來表示量子比特，咱們將橫着的光用 \(| 0\rangle\) 來描述，縱着的用 \(| 1\rangle\) 來描述。若是將一個橫着的偏振片放在一束斜着45°角的光前，那麼每個光波將以 \(cos^2 \frac{\pi}{4}\) 的機率決定本身是橫着，而後經過光柵，或者以 \(cos^2 \frac{\pi}{4}\) 的機率決定本身縱着，而後被光柵攔下。從宏觀上看，就是我這束光的能量經過偏振片後只有原來的 \(cos^2 \frac{\pi}{4}\) 了，由於其餘的被攔住了，經過的光，是純粹的橫着的光，若是在這以後再加上縱着的偏振片，光會所有被攔下，這也就是咱們前面說的測量後結果不會再變。

量子的幾何表示

咱們將徹底處於 \(| 0\rangle\) 或 \(| 1\rangle\) 的態成爲純態，他們沒有體現量子疊加的性質，和普通的經典比特沒有什麼區別。

一個量子比特的任意疊加態都是他純態的線性組合，咱們用 \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) 來表示一個任意的疊加態，固然，機率等於一的歸一性原理是要知足的， \(\alpha_0 ^2+\alpha_1 ^2=1\) 。

將 \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) 化簡成 $ \left[ \begin{array}{}{\alpha_0} \ {\alpha_1}\end{array}\right]$ 就是咱們喜歡的線性代數表達了，這樣更加的簡潔。

咱們能夠這麼理解這個向量，由於量子態只多是 \(| 0\rangle\) 或 \(| 1\rangle\) 兩種狀況，因此這是一個二維的空間，而後 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 是這個空間的正交基，那麼一個量子態就是這個空間的一個單位向量。

一個空間不止一組正交基。

令 \(|+\rangle = \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|1\rangle\) ， \(|-\rangle = \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle - \frac{1}{\sqrt2}|1\rangle\) ， $|+\rangle $ 和 $|-\rangle $ 又構成了空間的另外一組基。咱們將 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 的基成爲standard basis，$|+\rangle $ 和 $|-\rangle $ 的基稱爲sign basis。

兩比特的量子系統

單量子比特的系統，有 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 兩種可能，用 \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) 描述。

兩量子比特的系統，有 \(| 0\rangle| 0\rangle\) 、 \(| 0\rangle| 1\rangle\) 、 \(| 1\rangle| 0\rangle\) 、 \(| 1\rangle| 1\rangle\) 四種可能（ \(| 0\rangle\otimes| 0\rangle\) 、 \(| 0\rangle| 0\rangle\) 、 \(| 0 0\rangle\) 都是同一個意思的表達，就是不一樣的化簡程度， \(\otimes\) 是張量積的意思），則咱們能夠用 \(\alpha_{00} | 00\rangle+\alpha_{01} | 01\rangle+\alpha_{10} | 10\rangle+\alpha_{11} | 11\rangle\) 來描述， \(\alpha_{00}^2\) 是測量時落在 \(| 0 0\rangle\) 的機率，一樣，他們的平方加起來的機率爲1。

對於一個兩量子比特的系統，若是咱們測量第一個粒子，獲得 \(| 0\rangle\) ，那麼第二個粒子的狀態則爲： \(\frac{\alpha_{00} | 0\rangle+\alpha_{01} | 1\rangle}{\sqrt{\alpha_{00} ^2+\alpha_{01}^2 }}\) (第一個粒子爲一的可能就消除了，下面的分母是爲了保證機率的歸一性)

從另外一個角度思考，每個比特都是 \(\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle\) ，那麼我是否能夠用 \((\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle)(\beta_0 | 0\rangle +\beta_1 | 1\rangle)\) 的乘積來描述兩個比特的系統呢？

NO

不是每個兩量子比特系統均可以分解成兩個單量子比特系統的乘積形式。

好比，著名的Bell態： \(\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle\)

對於這樣的系統，你沒有辦法將他分紅兩個單獨的系統來描述，咱們稱這樣的態爲糾纏態。

假設兩個量子系統A和B的聯合狀態爲 \(\rho_{AB}\) ，單獨的狀態爲 \(\rho_{A}\) 和 \(\rho_{B}\) ，若是能夠寫成如下形式 \(\rho_{\mathrm{AB}}=\sum_{\mathrm{k}} p_{k} \rho_{k}^{A} \otimes \rho_{k}^{B}\) ， \(p_k\) 加起來和爲一，若是能夠，則說明這個態時可分態，不然就是糾纏態。

Bell態

對於一對bell態的粒子A、B： \(\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle\)

若是咱們測量A，獲得的結果是 \(| 0\rangle\) ，那麼B不用測量，結果也必定是 \(| 0\rangle\) ，由於這個系統內不存在第一個粒子是 \(| 0\rangle\) ，第二個粒子不是 \(| 0\rangle\) 的可能性。

同理，測量B，A的結果也隨之肯定。

Bell態在standard basis和sign basis中的描述時一致的。

\[|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|++\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|--\rangle\]

證實很簡單，將他們拆開就能夠推出來了。

\[\begin{align}|\psi\rangle&=\frac{1}{\sqrt2}|++\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|--\rangle\\&=\frac{1}{\sqrt2}(\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle)(\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle)+\frac{1}{\sqrt2}(\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle)(\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle)\\&=\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle\end{align}\]

同理，也能夠證實態在任意正交基下的描述：
令我新的基爲 \(|u\rangle\) 和 \(|u'\rangle\) ， \(|u\rangle\) 確定能夠用 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 來表示，由於 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 是基能夠描述這個空間的任意向量，假設 $|u\rangle=a| 0\rangle+b| 1\rangle $ ，則 $|u'\rangle=-b| 0\rangle+a| 1\rangle $ 由於他們相互垂直。
按照上文推導，能獲得如下結果：

\[|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|uu\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|u'u'\rangle\]

EPR佯謬

EPR幾個字是Einstein、Podolsky、Rosen這三個大佬名字的首字母。

既然這裏有大佬愛因斯坦，他老爺子確定以爲本身的相對論是對的，即，消息的傳播速度不能超過光速。

第二點，當時的人廣泛贊同的定域性理論，即，一個物體只能被周圍的力量影響。若是某一點的行動，要影響到另外一點，在中間的空間，例如場，會成爲運動的中介。

將這兩點結合來看，若是我有一對粒子，他們相距很遠，在宇宙的兩端，那麼我對第一個粒子的做用，必定會隔一段時間纔會影響到個人第二個粒子。

不肯定性原理

這裏咱們先提一下量子裏的不肯定性原理，他指的是：粒子的位置與動量不可同時被肯定，位置的不肯定性越小，則動量的不肯定性越大，反之亦然。

對於不一樣的案例，他有不一樣的內涵，在這裏，對於一個量子比特來講，當咱們肯定了，他在 \(| 0\rangle\) 和 \(| 1\rangle\) 這組基下測量有了具體的值，就不可能同時在 $|+\rangle $ 和 $|-\rangle $ 這組基下有肯定的值。

一個量子比特能夠用如下兩種方式來描述描述是：

\[ |\psi\rangle =\alpha_0 | 0\rangle +\alpha_1 | 1\rangle=\beta_0 | +\rangle +\beta_1 | -\rangle\]

咱們將 \(|\alpha_0|+|\alpha_1|\) 稱爲spread，記做 \(S_{\alpha}\) ，越肯定，則S越靠近1，越不肯定，則S越靠近 \(\sqrt2\) 。

不肯定性原理則是指 $S_{\alpha}S_{\beta} >=\sqrt2 $

咱們不可能同時肯定一個量子在standard basis和sign basis的值

矛盾

若是咱們有一對bell態的量子比特，則他們處於：

\[|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|++\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|--\rangle\]

若是咱們將這對量子放得很遠，那麼我在對第一個粒子測量他在standard basis的值時，對第二個粒子測量他在sign basis的值，我是否是就能夠同時獲得standard basis和sign basis的值了呢？

由於他們放的很遠，因此他們的測量也不會當即影響另外一個的結果，影響須要時間來傳播，而在傳播時間內，我就能夠測量獲得我要的值了。

與不肯定性原理矛盾。

這也就是愛因斯坦大佬以爲量子力學不完備的緣由，固然，後面證實愛因斯坦大佬錯了，由於他推到結果的一個前提有問題，就是當時大多數人贊同的定域性原理，量子具備非局域性原理，一對粒子隔得再遠，他們的相互影響也能夠瞬間完成，咱們將這種超距做用成爲量子糾纏。

一個小小的注意：

量子糾纏打破了愛因斯坦相對論中信息不能超光速傳播嗎？

沒有。

一對相距很遠的量子比特A、B，雖然不管我測量A的結果是什麼，B均可以立刻知道，可是我能拿這個傳遞信息嗎？不能，由於我也不知道我測量A的結果是什麼。

參考資料：

Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 2

Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 3

Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 4

Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete' ?