量子糾纏2——CHSH不等式

問題

有Alice和Bob兩我的，隨機給他們兩個數x和y(0或1)，而後A和B根據他們獲得數(x和y)給兩個個數a和b(0或1)。

規則以下：

若是輸入的x和y都是1，那麼，Alice和Bob給出不同的數獲勝；不然，Alice和Bob給出相同的數獲勝。

Alice和Bob在拿到x和y後就不能交談了，可是在拿到前能夠交流。

問：Alice和Bob怎樣約定獲勝的可能性最大？

一共有如下十六中狀況：

x	y	a	b	result
0	0	0	0	贏
0	0	0	1	輸
0	0	1	0	輸
0	0	1	1	贏
0	1	0	0	贏
0	1	0	1	輸
0	1	1	0	輸
0	1	1	1	贏
1	0	0	0	贏
1	0	0	1	輸
1	0	1	0	輸
1	0	1	1	贏
1	1	0	0	輸
1	1	0	1	贏
1	1	1	0	贏
1	1	1	1	輸

經典解法

咱們能夠看到，若是Alice和Bob隨機輸出a和b，即輸出的a和b與輸入的x和y無關，那麼他們獲勝了可能性是50%，也就是0.5。

若是有提早約定呢？

當輸入x和y都是0的時候，Alice和Bob能夠約定都出0（約定都出1也是同樣的道理），這樣，輸入是（0，0）的25%多是必定獲勝。

可是當你的輸入是1的時候，你不知道另外一我的是的輸入是0仍是1。

若是約定出0，即，不管輸入是什麼都出0，則，獲勝的可能性是75%，只有輸入是（1，1）時失敗。

若是約定出1，即，輸入什麼輸出什麼，則獲勝的可能性是25%，只有輸入是（0，0）才獲勝。

若是約定一個出0一個出1（假設A遇1出1，B遇1出0），則成功率75%，只有在輸入是（1，0）時失敗。

綜上，在經典解法中，成功的機率最大是0.75。

量子解法

首先咱們給Alice和Bob一對bell態的量子比特（\(|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|11\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|++\rangle + \frac{1}{\sqrt2}|--\rangle\)）

而後他們分別根據本身的輸入對本身量子比特測量，測量結果就是他們的輸出。

測量方式以下：

若是Alice的輸入是0，那麼就在\(| 0\rangle\)、\(| 1\rangle\)基測量，若是輸入是1，就在\(| u\rangle\)、\(| u'\rangle\)基測量。

若是Bob的輸入是0，那麼就在\(| v\rangle\)、\(| v'\rangle\)基測量，若是輸入是1，就在\(| w\rangle\)、\(| w'\rangle\)基測量。

這樣的獲勝的可能性是多少呢？

若是輸入是（0，0）：由於Alice的輸入是0，因此Alice用\(| 0\rangle\)、\(| 1\rangle\)基測量，測量在不在\(| 0\rangle\)，在的話輸出1，不在輸出0，而且能夠知道他在\(| 1\rangle\)。此時，由於Alice和bob的量子是糾纏的，Bob的量子比特也會坍縮到\(| 0\rangle\)或者\(| 1\rangle\)的位置。Bob的輸入也是0，因此Bob要在\(| v\rangle\)、\(| v'\rangle\)基測量，看量子在不在\(| v\rangle\)。若是Alice的量子最終坍縮到了\(| 0\rangle\)，在\(| v\rangle\)測量獲得1的機率爲\(cos^2\frac{\pi}{8}\)，由於\(| 0\rangle\)和\(| v\rangle\)之間的夾角是\(\frac{\pi}{8}\)，則有\(cos^2\frac{\pi}{8}\)的機率成功，若是Alice的量子坍縮到了\(| 1\rangle\)，則Alice的輸出爲0，在在\(| v\rangle\)測量獲得1的機率爲\(cos^2\frac{3\pi}{8}\)，可是這個時候輸出0纔會獲勝，因此成功的機率依舊是\(cos^2\frac{3\pi}{8}\)。

其餘輸入的狀況，按照上述過程，獲勝的機率也都是\(cos^2\frac{3\pi}{8}\)，則總的獲勝機率是\(cos^2\frac{3\pi}{8} \approx 0.85\)

結論

量子解法的最大成功率 \(>\) 經典解法的最大成功率

\[0.85 > 0.75\]

量子糾纏存在

參考資料：

Quantume Mechanics & Quantume Computation Lecture 4