實變函數論筆記

實變函數論

第二章 Lebesgue測度

2.1 點集的Lebesgue外測度

定義2.1 設，若是中可數個開矩體，且有

則稱 爲E的一個L-覆蓋。咱們稱

爲點集 的Lebesgue外測度。
若 的任意的L-覆蓋 均有

則 ，不然

定理2.1 中點集的外測度性質
（1）非負性：
（2）單調性：若
（3）次可加性：

2.2 可測集與測度

定義2.2 設。若對任意的點集，有

則稱E爲Lebesgue可測集，簡稱爲可測集，其中 稱爲試驗集

注：
（1）在證實時，咱們只須要對任一點集，證實

便可
（2）外測度爲零的點集稱爲零測集。

定理2.6 可測集的性質
（1）
（2）若
（3）若，則都屬於
（4）若，則其並集也屬於，若進一步，則

即 在 上知足可數可加性（或稱爲 ）

注
從定理的結論（1）（2）（4）可知，中可測集類構成一個代數。對於可測集，其外測度稱爲測度，記爲，這就是一般所說的上的Lebesgue測度。

第三章 可測函數

3.1 可測函數的定義及其性質

定義3.1 設是定義在可測集上的廣義實值函數。若對於任意的實數，點集

是可測集，則稱 是 上的可測函數，或稱 在 上可測

定理3.4 可測函數的運算性質：若是上的實值可測函數，則下列函數
（1）
（2）
（3）
都是上的可測函數。

定理3.6 可測函數的運算性質：若是上的可測函數列，則下列函數
（1）
（2）
（3）
（4）
都是上的可測函數。

3.2 可測函數列的收斂

幾乎到處收斂與一致收斂

定義3.5 設是定義在點集上的廣義實值函數。若存在中的點集，有及

則稱 在 上幾乎到處收斂於 ，並簡記爲

注 一致收斂：令是一個函數列，而且，對於任意的，存在，使得當時，

成立，則稱 一致收斂到 ，寫做

幾乎到處收斂與依測度收斂

定義3.6 設是上幾乎到處有限的可測函數，若對任意的，有

則稱 在 上依測度收斂於

3.3 可測函數與連續函數

第四章 Lebesgue積分

非負可測函數的積分

定義4.1 設是上的非負可測簡單函數，它在點集上取值爲：