定義2.1 設,若
是
中可數個開矩體,且有
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定理2.1 中點集的外測度性質
(1)非負性:
(2)單調性:若
(3)次可加性:函數
定義2.2 設。若對任意的點集
,有
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注:
(1)在證實時,咱們只須要對任一點集,證實
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定理2.6 可測集的性質
(1)
(2)若
(3)若,則
都屬於
(4)若,則其並集也屬於
,若進一步
,則
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注
從定理的結論(1)(2)(4)可知,中可測集類構成一個
代數。對於可測集
,其外測度稱爲測度,記爲
,這就是一般所說的
上的Lebesgue測度。get
定義3.1 設是定義在可測集
上的廣義實值函數。若對於任意的實數
,點集
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定理3.4 可測函數的運算性質:若是
上的實值可測函數,則下列函數
(1)
(2)
(3)
都是上的可測函數。class
定理3.6 可測函數的運算性質:若是
上的可測函數列,則下列函數
(1)
(2)
(3)
(4)
都是上的可測函數。bfc
定義3.5 設是定義在點集
上的廣義實值函數。若存在
中的點集
,有
及
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注 一致收斂:令是一個函數列,而且,對於任意的
,存在
,使得當
時,
定義3.6 設是
上幾乎到處有限的可測函數,若對任意的
,有
定義4.1 設是
上的非負可測簡單函數,它在點集
上取值爲
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