實變函數論筆記

實變函數論

第二章 Lebesgue測度

2.1 點集的Lebesgue外測度

定義2.1,若中可數個開矩體,且有
svg


則稱 爲E的一個L-覆蓋。咱們稱

爲點集 的Lebesgue外測度。
的任意的L-覆蓋 均有

,不然

定理2.1 中點集的外測度性質
(1)非負性:
(2)單調性:若
(3)次可加性:函數

2.2 可測集與測度

定義2.2 設。若對任意的點集,有
spa


則稱E爲Lebesgue可測集,簡稱爲可測集,其中 稱爲試驗集

注:
(1)在證實時,咱們只須要對任一點集,證實
3d


便可
(2)外測度爲零的點集稱爲零測集。

定理2.6 可測集的性質
(1)
(2)若
(3)若,則都屬於
(4)若,則其並集也屬於,若進一步,則
blog


上知足可數可加性(或稱爲


從定理的結論(1)(2)(4)可知,中可測集類構成一個代數。對於可測集,其外測度稱爲測度,記爲,這就是一般所說的上的Lebesgue測度。get

第三章 可測函數

3.1 可測函數的定義及其性質

定義3.1 設是定義在可測集上的廣義實值函數。若對於任意的實數,點集
it


是可測集,則稱 上的可測函數,或稱 上可測

定理3.4 可測函數的運算性質:若上的實值可測函數,則下列函數
(1)
(2)
(3)
都是上的可測函數。class

定理3.6 可測函數的運算性質:若上的可測函數列,則下列函數
(1)
(2)
(3)
(4)
都是上的可測函數。bfc

3.2 可測函數列的收斂

幾乎到處收斂與一致收斂

定義3.5 設是定義在點集上的廣義實值函數。若存在中的點集,有
im


則稱 上幾乎到處收斂於 ,並簡記爲

注 一致收斂:令是一個函數列,而且,對於任意的,存在,使得當時,


成立,則稱 一致收斂到 ,寫做

幾乎到處收斂與依測度收斂

定義3.6 設上幾乎到處有限的可測函數,若對任意的,有


則稱 上依測度收斂於

3.3 可測函數與連續函數

第四章 Lebesgue積分

非負可測函數的積分

定義4.1 設上的非負可測簡單函數,它在點集上取值爲

相關文章
相關標籤/搜索