機器學習-最小二乘法

最小二乘法是機器學習中的基礎知識點，一致對最小二乘法的理解不夠深刻，今天就花點時間來深刻理解和探討一下最小二乘法

最小二乘法，又稱最小平方法，基本公式通俗來說，兩者先取個差值，在來個平方，最後搞一個和號上去，這就是最小二乘問題的思想，下面介紹下

最小二乘法

   咱們以最簡單的一元線性模型來解釋最小二乘法。什麼是一元線性模型呢？ 監督學習中，若是預測的變量是離散的，咱們稱其爲分類（如決策樹，支持向量機等），若是預測的變量是連續的，咱們稱其爲迴歸。迴歸分析中，若是隻包括一個自變量和一個因變量，且兩者的關係可用一條直線近似表示，這種迴歸分析稱爲一元線性迴歸分析。若是迴歸分析中包括兩個或兩個以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關係，則稱爲多元線性迴歸分析。對於二維空間線性是一條直線；對於三維空間線性是一個平面，對於多維空間線性是一個超平面...

   對於一元線性迴歸模型, 假設從整體中獲取了n組觀察值（X1，Y1），（X2，Y2）， …，（Xn，Yn）。對於平面中的這n個點，可使用無數條曲線來擬合。要求樣本回歸函數儘量好地擬合這組值。綜合起來看，這條直線處於樣本數據的中心位置最合理。 選擇最佳擬合曲線的標準能夠肯定爲：使總的擬合偏差（即總殘差）達到最小。有如下三個標準能夠選擇：

        （1）用「殘差和最小」肯定直線位置是一個途徑。但很快發現計算「殘差和」存在相互抵消的問題。
        （2）用「殘差絕對值和最小」肯定直線位置也是一個途徑。但絕對值的計算比較麻煩。
        （3）最小二乘法的原則是以「殘差平方和最小」肯定直線位置。用最小二乘法除了計算比較方便外，獲得的估計量還具備優良特性。這種方法對異常值很是敏感。

　 最經常使用的是普通最小二乘法（ Ordinary  Least Square，OLS）：所選擇的迴歸模型應該使全部觀察值的殘差平方和達到最小。（Q爲殘差平方和）- 即採用平方損失函數。

 　樣本回歸模型：

                                     其中e_i爲樣本（X_i, Y_i）的偏差

   平方損失函數：

                      

   則經過Q最小肯定這條直線，即肯定，以爲變量，把它們看做是Q的函數，就變成了一個求極值的問題，能夠經過求導數獲得。求Q對兩個待估參數的偏導數：

                       

    根據數學知識咱們知道，函數的極值點爲偏導爲0的點。

    解得：

                   

 

這就是最小二乘法的解法，就是求得平方損失函數的極值點。

 

最小二乘法分爲線性和非線性兩種，線性最小二乘法很好解決，能夠將公式（1）變換爲矩陣方程（公式2），最後直接求解矩陣方程便可，不須要迭代，這種解被稱爲「解析解」

 

（1）

（2）

 非線性最小二乘問題則否則，它要複雜得多，沒有辦法變換爲矩陣方程形式，以致於它必須將問題化簡爲每一步均爲能夠直接求解的子問題，整個求解過程是迭代的。

線性最小二乘問題與非線性最小二乘的關係，就是非線性最小二乘問題的求解過程。

1. 對原問題中的每個函數fi(x)在x0處進行一階泰勒展開，由於一階泰勒展開屬於線性函數（公式3），因而經過這種手段，就能夠將非線性最小二乘問題簡化爲線性最小二乘問題來求解。

               （3）

2. 對獲得的線性最小二乘問題，進行直接求解。這裏面涉及到兩個矩陣，一個是雅克比矩陣（公式4），一個是赫森矩陣（公式5）。

                        （4）

（5）

3. 獲得子問題的解析解xk+1以後（公式2），xk+1與xk之間便天然地創建了等式關係（公式6）。

（6）

4. 更新參數xk（k=k+1， k=1....n），回到步驟1，直到知足收斂條件，獲得最優解x*

 

沒錯，就是講非線性轉化爲線性問題去解決，下面說名幾個注意點：

第一：步驟1中，必定要一階泰勒展開，不能採用二階以上，由於只有一階泰勒展開纔是線性函數，才能轉換爲線性最小二乘問題來直接求解。

第二：步驟2中，雅克比矩陣和赫森矩陣都是屬於子問題的，不是原問題的。

第三：步驟3中，是爲了獲得新求解的參數xk+1與以前參數xk之間的關係，造成一種「鏈式反應」，也就是迭代了。

第四：步驟4中，收斂條件通常有1.梯度近乎爲0。2.變量變化很小。3.目標函數值變化很小等。

第五：許多優化算法，均可以用於解決非線性最小二乘問題。

第六：函數fi(x)每每都是以下形式（公式7），千萬別覺得fi(x)就是hi(x)

 

（7）

 

解釋完了，一團亂麻很正常，咱們致力於應用，能理解更好，實在理解不了就理解應用場景，畢竟如今都是面向場景式編程。

說白了，最小二乘法能夠獲得平方損失函數最小的點，也就是全局最小，通俗點就是擬合度比較好，因此咱們通常都是用於擬合數據創建線性模型用於預測

下面給出線性最小二乘法的Java實現：

package org.yujoo.baas.base;

/** 
 * 最小二乘法 y=ax+b 
 *  
 * @author yu joo
 *  
 */  
public class Theleastsquaremethod {  
  
    private static double a;  
  
    private static double b;  
  
    private static int num;  
  
    /** 
     * 訓練 
     *  
     * @param x 
     * @param y 
     */  
    public static void train(double x[], double y[]) {  
        num = x.length < y.length ? x.length : y.length;  
        calCoefficientes(x,y);  
    }  
  
    /** 
     * a=(NΣxy-ΣxΣy)/(NΣx^2-(Σx)^2) 
     * b=y(平均)-a*x（平均） 
     * @param x 
     * @param y 
     * @return 
     */  
    public static void calCoefficientes (double x[],double y[]){  
        double xy=0.0,xT=0.0,yT=0.0,xS=0.0;  
        for(int i=0;i<num;i++){  
            xy+=x[i]*y[i];  
            xT+=x[i];  
            yT+=y[i];  
            xS+=Math.pow(x[i], 2.0);  
        }  
        a= (num*xy-xT*yT)/(num*xS-Math.pow(xT, 2.0));  
        b=yT/num-a*xT/num;  
    }  
  
    /** 
     * 預測 
     *  
     * @param xValue 
     * @return 
     */  
    public static double predict(double xValue) {  
        System.out.println("a="+a);  
        System.out.println("b="+b);  
        return a * xValue + b;  
    }  
  
    public static void main(String args[]) {  
        double[] x = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } ;    
        double[] y = {23 , 44 , 32 , 56 , 33 , 34 , 55 , 65 , 45 , 55 } ;    
        Theleastsquaremethod.train(x, y);  
        System.out.println(Theleastsquaremethod.predict(10.0));  
    }  
  
}  

 固然若是你不想寫也可使用Apache開源庫commons math，提供的功能更強大，

http://commons.apache.org/proper/commons-math/userguide/fitting.html

 

<dependency>  
          <groupId>org.apache.commons</groupId>  
            <artifactId>commons-math3</artifactId>  
            <version>3.5</version>  
 </dependency>  

 

private static void testLeastSquareMethodFromApache() {  
        final WeightedObservedPoints obs = new WeightedObservedPoints();  
        obs.add(-3, 4);  
        obs.add(-2, 2);  
        obs.add(-1, 3);  
        obs.add(0, 0);  
        obs.add(1, -1);  
        obs.add(2, -2);  
        obs.add(3, -5);  
  
        // Instantiate a third-degree polynomial fitter.  
        final PolynomialCurveFitter fitter = PolynomialCurveFitter.create(3);  
  
        // Retrieve fitted parameters (coefficients of the polynomial function).  
        final double[] coeff = fitter.fit(obs.toList());  
        for (double c : coeff) {  
            System.out.println(c);  
        }  
    }

最小二乘法使用的前提條件是數據連續的而非離散，最常使用的場景就是迴歸模型，在監督學習中，若是預測的變量是離散的，咱們稱其爲分類（如決策樹，支持向量機等），若是預測的變量是連續的，咱們稱其爲迴歸。迴歸分析中，若是隻包括一個自變量和一個因變量，且兩者的關係可用一條直線近似表示，這種迴歸分析稱爲一元線性迴歸分析。若是迴歸分析中包括兩個或兩個以上的自變量，且因變量和自變量之間是線性關係，則稱爲多元線性迴歸分析。對於二維空間線性是一條直線；對於三維空間線性是一個平面，對於多維空間線性是一個超平面。最小二乘法就是迴歸問題解決的基本方法，同時，最小二乘法在數學上稱爲曲線擬合。

 

參考1：最優化理論與算法

參考2：利用Levenberg_Marquardt算法求解無約束的非線性最小二乘問題~

參考3：利用信賴域算法求解無約束的非線性最小二乘問題~

參考4：http://blog.csdn.NET/wsj998689aa/article/details/41558945