前端學習算法2: 揹包問題 ，一步一步思考（動態規劃入門）

上一篇文章寫了個爬樓梯的問題，沒想到有不少人關注，趁熱打鐵，此次寫揹包問題（初級）。個人學習風格就是一步一步的實現，力求解釋全面，可能會囉嗦。

1 揹包問題

先舉一個很通俗易懂的例子，也是圖解算法中的例子，有一個只能裝4kg的包，物品有音響3000元-重4kg，吉他1500元-重1kg，電腦2000元-重3kg。問，要想包裏的價值最高，應該怎麼裝？（注意：不考慮 物品的體積，不要想吉他很大放不下。）

1.1 解答

相信這個例子，隨便看一下就能夠知道要裝什麼，確定是裝電腦加吉他。總價值3500塊，又恰好4kg。

1.2 爲何？

拜託，這麼簡單的題目，看一眼就知道爲何了。由於其他的組合狀況，不可能比這個價值高的，即便比這個價值高，那也放不下了。很好，這就是最簡單的暴利窮舉算法了。紅色的狀況是超重了，放不下。

也就是說，物品數目是3的時候，有2^3種狀況，而後找到符合條件的，也就是揹包放的下的狀況，取出價值最大的組合便可。 那麼假如是4種商品呢，或者5種呢？這種組合狀況是否是分別爲2^4 2^5種，就很難一眼看出結果了吧，雖然上述邏輯對，可是這種 2^n 指數的量級 ，也未免也太複雜了。

2 動態規劃登場

上一篇動態規劃入門的文章裏有寫過，動態規劃，就是大事化小，小事化了。那麼對於這種類型的題目，要怎麼化繁爲簡呢？要怎麼找出有表明性的模型呢？

2.1 咱們來思考一下

現有揹包載重量爲4kg，這個揹包已經裝了現有狀況下價值最高的物品，價值爲v1。那麼，在這個狀況下，有一個新的物品，這個物品的重量是x kg，價值是v，那麼此時對於這個4kg的包，裝物品的最大值，分幾種狀況呢？

1. 先來看看因爲新物品的出現，這個4kg的包要怎麼裝？ 太多種狀況了，可是要想裝的物品價值總和最大，那麼必定是符合接下來講的這種狀況的。這裏咱們不用考慮x>4的狀況。
2. 假如要裝這個新物品，那麼裝了後剩餘的載重量爲(4-x)kg，假設這個載重量，能裝的物品最大值是v2 ，此時這個4kg的包，所能裝載的物品最大價值就是v+v2
3. 假如不裝這個新物品，那4kg的包所能裝載物品的最大值仍是v1。
4. 因此此時的4kg包裝物品最大值是v1或者v+v2

2.2 繼續思考

1. 那4-x有多少種可能呢，1kg 2kg 3kg ，由上述前提，咱們已經知道了載重4kg的包能放物品最高價值是v1。而對於1kg 2kg 3kg這種簡單狀況所能承載的物品最高價值，也是能夠經過上述的方式去推導得出的。

3 複雜一下題目

有一個載重量是10kg 的揹包，有五個物品，a 2kg 6元，b 2kg 3元，c 6kg 5元，d 5kg 4元，e 4kg 6元。問怎麼放物品，價值最高？

根據上面的推導，我來畫一些表格

1. 首先咱們只有a物品，而後1-10kg的包，對於只有a物品的狀況，以下：解釋一下表格組成，尤爲是最左邊一列，表明着依次新有的物品，上面一行是承載量不一樣的揹包值，剩餘的是當前承載量下，對應擁有的物品的最高價值。

   

2. 那麼此時有了b物品（此時共有a b兩個物品能夠選擇），想一下上面的推導的結論，填完表格，以下

結合以前推導的結論，來以2kg那一列說明一下，第一個6元，是隻有a物品時候，那麼此時能放進揹包的最高價值就是6元。當有了b物品能夠選擇時，有兩種狀況，（1）放進b物品，包的載重量-b物品重量後爲0，而後加上b物品價值是3元（2）不放b物品原來價值是6元，取最大，即6元。

3. 那麼此時有了c物品（此時共有a b c三個物品能夠選擇），這裏不作解釋，直接上圖

4. 依次類推，直接上完整結果。

隨便抽出1個節點的值來驗證一下吧:

7kg時候，已經從abcd挑選結束，如今要考慮新增e的狀況。 那個一直7kg時候，最高價值10元，新增的物品e是4kg，假如放了e，那麼剩餘空間是3kg，由圖可知，在沒有e以前，3kg的包最大能放6元物品。e的價值是6元，因此加起來12元，大於以前的最高值10元，因此對應的左標填值12元

4 代碼實現

//by 司徒正美
function knapsack(weights, values, W){
    var n = weights.length -1
    var f = [[]]
    for(var j = 0; j <= W; j++){
        if(j < weights[0]){ //若是容量不能放下物品0的重量，那麼價值爲0
            f[0][j] = 0
        }else{ //不然等於物體0的價值
            f[0][j] = values[0]
        }
    }
    for(var j = 0; j <= W; j++){
        for(var i = 1; i <= n; i++ ){
            if(!f[i]){ //建立新一行
                f[i] = []
            }
            if(j < weights[i]){ //等於以前的最優值
                f[i][j] = f[i-1][j]
            }else{
                f[i][j] = Math.max(f[i-1][j], f[i-1][j-weights[i]] + values[i]) 
            }
        }
    }
    console.log(f)
    return f[n][W]
}
var a = knapsack([2,2,6,5,4],[6,3,5,4,6],10)
console.log(a)
複製代碼

最終打印的結果以下

(但願本身能一直堅持下去吧~~)

參考：

1. 司徒正美文章 segmentfault.com/a/119000001…
2. 算法圖解 動態規劃一章