動態規劃法－01揹包問題

一 幾個概念：

最優化問題：有n個輸入，它的解由這n個輸入的一個子集組成，這個子集必須知足某些事先給定的條件，這些條件稱爲約束條件，知足約束條件的解稱爲問題的可行解。知足約束條件的可行解可能不止一個，爲了衡量這些可行解的優劣，事先給出必定的標準，這些標準一般以函數的形式給出，這些標準函數稱爲目標函數，使目標函數取得極值的可行解成爲最優解，這類問題稱爲最優化問題。

二 最優性原理：

對於一個具備n個輸入的最優化問題，其求解的過程每每可以劃分爲若干個階段，每一個階段的決策僅依賴前一階段的狀態，由決策所採取的動做使狀態發生轉移，成爲下一個階段的根據。從而，一個決策序列在不斷變化的狀態中產生。這個決策序列產生的過程稱爲多階段決策過程。

在每一個階段的決策中有一個賴以決策的策略或目標，這樣的策略或目標是由問題的性質和特色所肯定，一般以函數的形式表示並具備遞推關係，稱爲動態規劃函數。

多階段決策過程知足最優性原理：無論決策過程的初始狀態和初始決策是什麼，其他決策必須相對於初始決策所產生的當前狀態，構成一個最優決策序列。

假設一個問題知足最優性原理一般稱此問題具備最優子結構性質。

三 特徵

咱們知道動態規劃是求解全局最優解的有效方法，通常來講能用動態規劃算法求解的問題具備下面兩個顯著特稱：

• 具備最優子結構性質，也就是說可以遞歸的定義最優解。

• 能夠分解爲相互重疊的若干自問題。

• 最優解中也包括其子問題的最優解。

四 設計方案

動態規劃法設計方案

• 分段：將原問題分解爲若干個相互重疊的子問題；

• 分析：分析問題是否知足最優子結構性質，找出動態規劃函數遞推式；

• 求解：利用遞推式自底向上計算，實現動態規劃過程。

五 01揹包問題

0/1揹包問題中，物品i或者被放入揹包，或者不被放入揹包，設Xi表示物品i裝入揹包的狀況，則當Xi=0時，表示物品i沒有被裝入揹包，Xi=1時，表示物品i被裝入揹包。依據問題的要求，有例如如下約束條件和目標函數：

圖 1 約束條件

圖2 目標函數

01揹包的狀態轉換方程f[i,j]= Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ),  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中選擇若干件放在承重爲j的揹包中，可以取得的最大價值。

Pi表示第i件物品的價值。

決策：爲了揹包中物品總價值最大化，第i件物品應該放入揹包中嗎？

六 動態規劃法解決方式

有編號分別爲a,b,c,d,e的五件物品，它們的重量各自是2,2,6,5,4，它們的價值各自是6,3,5,4,6，現在給你個承重爲10的揹包，怎樣讓揹包裏裝入的物品具備最大的價值總和

name	weight	value	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	2	6	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15
b	2	3	0	3	3	6	6	9	9	9	10	11
c	6	5	0	0	0	6	6	6	6	6	10	11
d	5	4	0	0	0	6	6	6	6	6	10	10
e	4	6	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6

表10/1揹包問題動態規劃法

表1採用自底向上自左向右的方式生成的。

e1表示在揹包容量爲1的狀況下只放入物品e的價值，因容量1<4所以價值爲0；依此類推當揹包容量爲4時，單元格e4的價值爲6。容量繼續上漲也只能放置e，所以價值持續爲6。

d行可參照遞推式f[i,j]= Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }例如如下描寫敘述

1. i<=5時，d行表格價值與e行一樣；

2. i>=6時，比方第6行，選取Max{f[1,1]+4,f[1,6]}即Max{e1+4, e6}=Max{4, 6} = 6;依此類推d9=Max{f[1,4]+4,f[1,59}=10;

依次類推可計算c/b/a的值,而後依據最大價值返算最優路徑。

d1表示揹包容量爲1的狀況下放置物品d和e後的價值，因e的重量爲4>1，且d的重量爲5>1所以價值爲0。直至第5列(不包含d5)d行表格的內容與e行一樣，

七 程序實現C＃

代碼段1 測試函數

class MainClass
	{
		public static void Main (string[] args)
		{
            Obj[] objs = new Obj[4];
            objs[0] = new Obj() { Weight = 7, Price = 42 };
            objs[1] = new Obj() { Weight = 3, Price = 12 };
            objs[2] = new Obj() { Weight = 4, Price = 40 };
            objs[3] = new Obj() { Weight = 5, Price = 25 };


            			Console.WriteLine ("Dynamicprogramming Model:");            
			dynamicprogramming d = new dynamicprogramming (objs, 10);
			int price = d.Execute ();
			d.Printing (price);
            //Console.Read();
		}
	}

代碼段2 實現函數

public class dynamicprogramming
	{
		/// <summary>
		/// 存儲動態規劃的遞推數據
		/// m_V[i][j]表示前i個物品放入容量爲j的揹包得到的最大價值
		/// 當中第0行做爲初始化，表示不放入物品時的價值；
		/// 第0列做爲初始化，表示容量爲0時能放入物品的價值；
		/// </summary>
		private int[,] m_V;
		/// <summary>
		/// 物品數量
		/// </summary>
		private int m_n;
		/// <summary>
		/// 揹包容量
		/// </summary>
		private int m_w;

		public Obj[] objs {
			get;
			set;
		}
		public dynamicprogramming (Obj[] objs, int w)
		{
			if (objs == null) {
				return;
			}

			m_n = objs.Length;
			this.objs = objs;
			m_w = w;
			m_V = new int[m_n + 1, m_w + 1];

			for (int i = 0; i < m_w+1; i++) {
				m_V [0, i] = 0;
			}
			for (int i = 0; i < m_n+1; i++) {
				m_V [i, 0] = 0;
			}
		}

		public int Execute()
		{
			for (int r = 1; r <= m_n; r++) {
				for (int w = 1; w <= m_w; w++) {
					if (w < objs[r - 1].Weight) {
						m_V[r, w] = m_V[r - 1, w];
					} else {
						int tmp = m_V [r - 1, w - objs [r - 1].Weight] + objs [r - 1].Price;
						m_V [r, w] = m_V [r - 1, w] > tmp ? m_V [r - 1, w] : tmp;
					}
				}
			}

			//求裝入揹包的物品
			int weight = m_w;
			for (int i = m_n; i > 0; i--) {
				if (m_V[i, weight] > m_V[i - 1, weight]) {
					objs [i - 1].Selected = true;

					weight -= objs [i - 1].Weight;
				}
			}

			return m_V[m_n, m_w];
		}

		public void Printing(int price)
		{
			Console.Write("<");
			for (int i = 0; i < objs.Length; i++)
			{
				Console.Write(objs[i].Selected ? "1 " : "0 ");

			}
			Console.WriteLine(">, price: " + price );
		}
	}

輸出結果：

注：上述程序使用FreeBSD下Mono開發。