動態規劃算法(@揹包問題)

　動態規劃（Dynamic programming）是一種在數學、計算機科學和經濟學中使用的，經過把原問題分解爲相對簡單的子問題的方式求解複雜問題的方法。 動態規劃經常適用於有重疊子問題和最優子結構性質的問題，動態規劃方法所耗時間每每遠少於樸素解法。

　 　動態規劃背後的基本思想很是簡單。大體上，若要解一個給定問題，咱們須要解其不一樣部分（即子問題），再合併子問題的解以得出原問題的解。 一般許 多 子問題很是類似，爲此動態規劃法試圖僅僅解決每一個子問題一次，從而減小計算量： 一旦某個給定子問題的解已經算出，則將其記憶化存儲，以便下次須要同 一個 子問題解之時直接查表。 這種作法在重複子問題的數目關於輸入的規模呈指數增加時特別有用。

　　關於動態規劃最經典的問題當屬揹包問題。

算法步驟：

1. 最優子結構性質。若是問題的最優解所包含的子問題的解也是最優的，咱們就稱該問題具備最優子結構性質（即知足最優化原理）。最優子結構性質爲動態規劃算法解決問題提供了重要線索。

2. 子 問題重疊性質。子問題重疊性質是指在用遞歸算法自頂向下對問題進行求解時，每次產生的子問題並不老是新問題，有些子問題會被重複計算多 次。 動態規劃算法正是利用了這種子問題的重疊性質，對每個子問題只計算一次，而後將其計算結果保存在一個表格中，當再次須要計算已經計算過的子問題 時，只是 在表格中簡單地查看一下結果，從而得到較高的效率。

 

eg:

   問題描述：

   給定n種物品和一揹包。物品i的重量是wi，其價值爲vi，揹包的容量爲PACKAGE_WEIGHT。問應如何選擇裝入揹包的物品，使得裝

入揹包中物品的總價值最大?

 1 #include <iostream>
 2 #include <iomanip>
 3 #include <vector>
 4 #include <cmath>
 5 using namespace std;
 6 class Item
 7 {
 8 public:
 9     int weight;
10     int value;
11     Item(int w,int v)
12     {
13         weight=w;
14         value=v;
15     }
16 };
17 vector<Item> items;
18 const int PACKAGE_WEIGHT=10;
19 
20 void init()
21 {
22     Item item(5,10);
23     items.push_back(item);
24     item.weight=4;item.value=40;
25     items.push_back(item);
26     item.weight=6;item.value=30;
27     items.push_back(item);
28     item.weight=3;item.value=50;
29     items.push_back(item);
30 }
31 void calResult(vector<Item> &itemlist)
32 {
33     cout<<endl;
34     cout<<setw(5)<<"w"<<setw(5)<<"v"<<endl;
35     for(int i=0;i<itemlist.size();i++)
36     {
37         Item tItem=itemlist.at(i);
38         cout<<setw(5)<<tItem.weight<<setw(5)<<tItem.value<<endl;
39     }
40 
41     int item_count=itemlist.size();
42     int **resultArray=new int*[item_count+1];
43     for(int i=0;i<item_count+1;i++)
44     {
45         resultArray[i]= new int[PACKAGE_WEIGHT+1];
46     }
47 
48     for(int row=0;row<item_count+1;row++)
49     {
50         for(int col=0;col<PACKAGE_WEIGHT+1;col++)
51         {
52             resultArray[row][col]=0;
53         }
54     }
55 
56     //real calculate
57     for(int row=1;row<item_count+1;row++)
58     {
59         for(int col=1;col<PACKAGE_WEIGHT+1;col++)
60         {
61             if(col<itemlist[row-1].weight)
62                 resultArray[row][col]=resultArray[row-1][col];
63             else
64             {
65                 resultArray[row][col]=max(resultArray[row-1][col],\
66                         resultArray[row-1][col-itemlist[row-1].weight]+itemlist[row-1].value);
67 
68             }
69         }
70     }
71 
72     //print result
73     cout<<endl;
74     for(int row=0;row<item_count+1;row++)
75     {
76         for(int col=0;col<PACKAGE_WEIGHT+1;col++)
77         {
78             cout<<setw(5)<<resultArray[row][col];
79         }
80         cout<<endl;
81     }
82 }
83 int main(int argc,char *argv[])
84 {
85     init();
86     calResult(items);
87 
88     return 0;
89 }

 

遊船費問題

問題描述

   某旅遊城市在長江邊開闢了若干個旅遊景點。一個遊船俱樂部在這些景點都設置了遊艇出租站。遊客可在這些遊船出租站租用遊船，並在下游的任何一個遊船出租站 歸還遊船，從一個遊船出租站到下游的遊船出租站間的租金明碼標價。你的任務是爲遊客計算從起點到終點站間的最小租船費用。

輸入

    輸入文件有若干組數據，每組測試數據的第一行上有一個整數n(1<=n<=100)，表示上游的起點站0到下游有n個遊船出租站

1，2，。。。，n。接下來有n行，這n行中的第1行有n個整數，分別表示第0站到第1，2，3，。。。，n站間的遊船租金；第2行有n-1個整 數，分別表示第1站到第2，3，4，。。。n站間的遊船租金；。。。。；第n-1行有2個整數，表示第n-2站到第n-一、n站間的遊船租金；第n行有1 個整數，表示第n-1站到第n站間的遊船租金。一行上有兩個整數之間是用空格隔開的。兩組測試數據之間無空行。

輸出

    對輸入文件中的每組測試數據，先在一行上輸出「Case #:」，其中「#」測試數據的編號（從1開始）。再輸出一行，內容是該狀況下游客從起點站到終點站間的最少租船費用。

 

輸入樣例

3

2 3 6

1 3

2

輸出樣例

Case 1:

5

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<climits>
 4 using namespace std;
 5 int main()
 6 {
 7    int cost[100][101];
 8    int mincost[101];
 9    int n;
10    memset(cost,0,sizeof(cost));
11    cin >> n;
12 
13    for(int i = 0;i < n; i++)
14       for(int j = i + 1; j <= n; j++)
15        cin >> cost[i][j];
16 
17    mincost[0] = 0;
18    for(int i = 1; i < n+1; i++)
19        mincost[i] = LONG_MAX;
20 
21    for(int i=1;i<=n;i++)
22        for(int j=0;j<i;j++)
23            if(mincost[j]+cost[j][i]<mincost[i])
24                mincost[i]=mincost[j]+cost[j][i];
25    cout << endl << mincost[n];
26 }

 

詳細解釋文:http://blog.jobbole.com/83949/   感謝章主.

1、基本概念

動態規劃過程是：每次決策依賴於當前狀態，又隨即引發狀態的轉移。一個決策序列就是在變化的狀態中產生出來的，因此，這種多階段最優化決策解決問題的過程就稱爲動態規劃。

2、基本思想與策略

基本思想與分治法相似，也是將待求解的問題分解爲若干個子問題（階段），按順序求解子階段，前一子問題的解，爲後一子問題的求解提供了有用的信息。在求解任一子問題時，列出各類可能的局部解，經過決策保留那些有可能達到最優的局部解，丟棄其餘局部解。依次解決各子問題，最後一個子問題就是初始問題的解。

因爲動態規劃解決的問題多數有重疊子問題這個特色，爲減小重複計算，對每個子問題只解一次，將其不一樣階段的不一樣狀態保存在一個二維數組中。

與分治法最大的差異是：適合於用動態規劃法求解的問題，經分解後獲得的子問題每每不是互相獨立的（即下一個子階段的求解是創建在上一個子階段的解的基礎上，進行進一步的求解）。

3、適用的狀況

能採用動態規劃求解的問題的通常要具備3個性質：

(1) 最優化原理：若是問題的最優解所包含的子問題的解也是最優的，就稱該問題具備最優子結構，即知足最優化原理。

(2) 無後效性：即某階段狀態一旦肯定，就不受這個狀態之後決策的影響。也就是說，某狀態之後的過程不會影響之前的狀態，只與當前狀態有關。

（3）有重疊子問題：即子問題之間是不獨立的，一個子問題在下一階段決策中可能被屢次使用到。（該性質並非動態規劃適用的必要條件，可是若是沒有這條性質，動態規劃算法同其餘算法相比就不具有優點）

---

4、求解的基本步驟

動態規劃所處理的問題是一個多階段決策問題，通常由初始狀態開始，經過對中間階段決策的選擇，達到結束狀態。這些決策造成了一個決策序列，同時肯定了完成整個過程的一條活動路線(一般是求最優的活動路線)。如圖所示。動態規劃的設計都有着必定的模式，通常要經歷如下幾個步驟。

初始狀態→│決策１│→│決策２│→…→│決策ｎ│→結束狀態

圖1 動態規劃決策過程示意圖

(1)劃分階段：按照問題的時間或空間特徵，把問題分爲若干個階段。在劃分階段時，注意劃分後的階段必定要是有序的或者是可排序的，不然問題就沒法求解。

(2)肯定狀態和狀態變量：將問題發展到各個階段時所處於的各類客觀狀況用不一樣的狀態表示出來。固然，狀態的選擇要知足無後效性。

(3)肯定決策並寫出狀態轉移方程：由於決策和狀態轉移有着自然的聯繫，狀態轉移就是根據上一階段的狀態和決策來導出本階段的狀態。因此若是肯定了決策，狀態轉移方程也就可寫出。但事實上經常是反過來作，根據相鄰兩個階段的狀態之間的關係來肯定決策方法和狀態轉移方程。

(4)尋找邊界條件：給出的狀態轉移方程是一個遞推式，須要一個遞推的終止條件或邊界條件。

通常，只要解決問題的階段、狀態和狀態轉移決策肯定了，就能夠寫出狀態轉移方程（包括邊界條件）。

實際應用中能夠按如下幾個簡化的步驟進行設計：

（1）分析最優解的性質，並刻畫其結構特徵。

（2）遞歸的定義最優解。

（3）以自底向上或自頂向下的記憶化方式（備忘錄法）計算出最優值

（4）根據計算最優值時獲得的信息，構造問題的最優解

---

5、算法實現的說明

動態規劃的主要難點在於理論上的設計，也就是上面4個步驟的肯定，一旦設計完成，實現部分就會很是簡單。

使用動態規劃求解問題，最重要的就是肯定動態規劃三要素：

（1）問題的階段 （2）每一個階段的狀態

（3）從前一個階段轉化到後一個階段之間的遞推關係。

遞推關係必須是從次小的問題開始到較大的問題之間的轉化，從這個角度來講，動態規劃每每能夠用遞歸程序來實現，不過由於遞推能夠充分利用前面保存的子問題的解來減小重複計算，因此對於大規模問題來講，有遞歸不可比擬的優點，這也是動態規劃算法的核心之處。

肯定了動態規劃的這三要素，整個求解過程就能夠用一個最優決策表來描述，最優決策表是一個二維表，其中行表示決策的階段，列表示問題狀態，表格須要填寫的數據通常對應此問題的在某個階段某個狀態下的最優值（如最短路徑，最長公共子序列，最大價值等），填表的過程就是根據遞推關係，從1行1列開始，以行或者列優先的順序，依次填寫表格，最後根據整個表格的數據經過簡單的取捨或者運算求得問題的最優解。

f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}

6、動態規劃算法基本框架

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

for (j=1; j<=m; j=j+1) // 第一個階段     xn[j] = 初始值;     for (i=n-1; i>=1; i=i-1) // 其餘n-1個階段     for (j=1; j>=f(i); j=j+1) //f(i)與i有關的表達式       xi[j]=j=max（或min）{g(xi-1[j1:j2]), ......, g(xi-1[jk:jk+1])};   t = g(x1[j1:j2]); // 由子問題的最優解求解整個問題的最優解的方案   print(x1[j1]);   for (i=2; i<=n-1; i=i+1） {        t = t-xi-1[ji];         for (j=1; j>=f(i); j=j+1)          if (t=xi[ji])               break ; }