矩陣行列式的幾何意義

矩陣行列式的幾何意義

 

行列式的定義：

行列式是由一些數據排列成的方陣通過規定的計算方法而獲得的一個數。固然，若是行列式中含有未知數，那麼行列式就是一個多項式。它本質上表明一個數值，這點請與矩陣區別開來。矩陣只是一個數表，行列式還要對這個數表按照規則進一步計算,最終獲得一個實數、複數或者多項式。

一階行列式

（注意不是絕對值）

二階行列式

三階行列式

N階行列式

行列式的幾何意義是什麼呢？

歸納說來有兩個解釋：

一個解釋是行列式就是行列式中的行或列向量所構成的超平行多面體的有向面積或有向體積；

另外一個解釋是矩陣A的行列式detA就是線性變換A下的圖形面積或體積的伸縮因子。

這兩個幾何解釋一個是靜態的體積概念，一個是動態的變換比例概念。但具備相同的幾何本質，由於矩陣A表示的（矩陣向量所構成的）幾何圖形相對於單位矩陣E的所表示的單位面積或體積（即正方形或正方體或超立方體的容積等於1）的幾何圖形而言，伸縮因子自己就是矩陣矩陣A表示的幾何圖形的面積或體積，也就是矩陣A的行列式。

二階行列式的幾何意義：

二階行列式的幾何意義是xoy平面上以行向量爲鄰邊的平行四邊形的有向面積。

二階行列式的幾何意義就是由行列式的向量所張成的平行四邊形的面積。另外，兩個向量的叉積也是這個公式。

二階行列式的另外一個意義就是是兩個行向量或列向量的叉積的數值，這個數值是z軸上（在二維平面上，z軸的正向想象爲指向讀者的方向）的叉積份量。若是數值是正值，則與z座標同向；負值就與z座標反向。若是咱們不強調叉積是第三維的向量，也就是忽略單位向量，那麼二階行列式就與兩個向量的叉積徹底等價了。

二階行列式性質的幾何解釋：

兩向量在同一條直線上，顯然圍成的四邊形的面積爲零，所以行列式爲零

這個性質由行列式的叉積特性獲得，交換行列式的兩行，就是改變了向量a和向量b的叉積順序，根據，所以行列式換號。

把行列式的一行的k倍加到另外一行，則行列式值不變，即

矩陣的行列式等於其轉置矩陣的行列式（根據行列式的定義可證）

總結：

（1）用一個數k乘以向量a,b中之一的a，則平行四邊形的面積就相應地增大了k倍；

（2）把向量a,b中的一個乘以數k以後加到另外一個上，則平行四邊形的面積不變；

（3）以單位向量(1，0)，(0，1)構成的平行四邊形(即單位正方形)的面積爲1。

三階行列式的幾何意義：

一個3×3階的行列式是其行向量或列向量所張成的平行六面體的有向體積。

一個行列式能夠經過拆分某一個列向量獲得兩個行列式的和

行列式的有兩行或者兩列元素相同，它對應的空間平行六面體的兩條鄰邊重合，至關於三維空間中六面體被壓成了高度爲零的二維平面，顯然，這個平面的三維體積爲零。

一個行列式對應着一個數值，這個數值是對行列式中的元素通過運算獲得的。這個運算是與元素的位置有關係的，所以你改變了行列式中列向量或行向量的位置固然會改變行列式的結果。幸而只改變結果的符號。通常地，一個行列式的值對應矩陣A的列向量的一個固定順序。當detA爲負值時，它肯定原象的一個反射。因此，這種變換改變了原象的定向。

這就是說，平行六面體的體積的k倍等於六面體的三條棱中一條棱長的k倍。這是顯然的。由於立方體的體積增大能夠沿着立方體某一棱方向增大相同的倍數。

此性質表述了以爲底面積的平行六面體在a方向上進行了切向變換，變換的後的六面體由於底面積不變，高也不變，所以體積不變。

矩陣A的行列式等於矩陣A轉置的行列式

行列式化爲對角形的幾何解釋：

一個行列式的第i行加上j行的K倍，可使第i行的某一個元素變爲0，而這個行列式的值不變。這個性質在化簡行列式時很是有用。

一個二階行列式所表示的平行四邊形被變成了一個對角行列式所表示的正（長）方形。

三階行列式有相似的變換情形，對角化的過程會把一個平行六面體變化爲一個等體積的立方體或長方體。

那麼n階行列式咱們亦不懷疑的認爲也能夠被表示成一個n維的長方體的幾何圖形。

二階行列式乘積項的幾何意義：

對於二階行列式而言，既然二階行列式的幾何圖形是一個有方向的面積，那麼從二階行列式公理化定義−看，又是如何構成這個面積的呢？顯然，式中項和項的和構成了這個面積。（面積方向的肯定：叉積的右手定則）

三階行列式乘積項的幾何意義：

與二階行列式的乘積項的幾何解釋相似，三階行列式的乘積項，能夠當作具備有方向的小長方體的體積。也就是說，在三階方陣張成的三維平行六面體能夠分解爲一個個由各座標份量混合積構成的小長方體。這些小長方體共有六塊，其體積具備方向。

n階行列式乘積項的幾何意義：

N階行列式的超平行多面體的幾何圖形是由行(或列)向量張成的，並且這個n維超平行多面體與一個n維超長方體等體積。

好比一個二階行列式能夠分拆成兩個這樣的二階對角行列式：

 

一個三階行列式能夠拆分紅六個（其他的行列式值等於零）三階對角行列式：

一個行列式的總體幾何意義是有向線段（一階行列式）或有向面積（二階行列式）或有向體積（三階行列式及以上）。

所以，行列式最基本的幾何意義是由各個座標軸上的有向線段所圍起來的全部有向面積或有向體積的累加和。這個累加要注意每一個面積或體積的方向或符號，方向相同的要加，方向相反的要減，於是，這個累加的和是代數和。

克萊姆法則的幾何意義：

1750年，瑞士的克萊姆發現了用行列式求解現行方程組的克萊姆（Cramer）法則。這個法則在表述上簡潔天然，思想深入，包含了對多重行列式的計算，是對行列式與線性方程組之間關係的深入理解。若是咱們不能從幾何上解釋這個法則，就不可能領會向量、行列式和線性方程組之間的真正關係。

二階克萊姆法則的幾何解釋：

二階線性方程組：

其克萊姆法則的解：

三階克萊姆法則的幾何解釋：

三階線性方程組以下：

其克萊姆法則的解：

過程與二階相似，參考二階的推導過程。

克萊姆法則的意義是能夠用方程組的係數和常數項的行列式把方程組的解簡潔的表達出來。但在實際工程應用中因爲計算量較大，經常採用高斯消元法來解大型的線性方程組。