線性代數筆記16——圖和網絡

　　圖（Graph）是離散數學中的一種常見數據結構，由節點和邊組成，若是邊有方向，就是有向圖。下圖是一個有4個節點5條邊的有向圖：

　　這個圖（Graph）能夠表示電網、網絡或建築物通道的數學模型。

關聯矩陣

　　能夠經過一個矩陣來解析有向圖，這個矩陣稱爲關聯矩陣（Incidence Matrix）。4個節點5條邊的圖用一個5×4的矩陣表示，用正負表示邊的方向，矩陣的一行至關於圖的一條邊，矩陣的一列對應圖的一個節點：

 

　　以A的第一行爲例，它對應圖的第一條邊e1，e1的方向是從n1指向n2，與n3和n4無關。若是將A中的-1所有改成1，就變成了無向圖。

　　A的前三行對應了三邊e1,e2,e3，它們構成了圖中的一個迴路。對於一個圖來講，迴路的數量和位置相當重要。把迴路單獨拿出來看：

 

　　問題之一是：這三行相互獨立嗎？或者說它們是不是線性無關的？

　　彷佛很容易看出，第3行能夠由第1行和第2行相加獲得，這說明迴路對應的行是線性相關的。從圖上看，從n1到n3能夠n1→n3，也能夠n1→n2→n3，因此說n1→n3是「多餘」的，它能夠由「繞行」代替。

存儲大型關聯矩陣

　　若是用關聯矩陣描述一個大型圖，你會發現矩陣中的0很是多，這個矩陣是一個稀疏矩陣。用計算機存儲這個矩陣時，應當考慮是否應該用鄰接表代替二維數組，同時也可使用一維數組代替二維數組。

　　鄰接表是一種經常使用的數據結構，它是一個存儲了鏈表的一維數組。

　　仍是這個圖，如今不考慮方向，用一維數組描述：

　　L[4]是有4個節點的數組（假設數組下標從1開始，和Matlab同樣），初始元素都爲0，這樣構造數組：

　　n1與n2聯通，將L[1]與L[2]賦予n2的序號，L = [2,2,0,0]；

　　n2與n3聯通，將L[2]和與L[2]相連的全部節點都賦予n3的序號，L = [3,3,3,0]；

　　n3與n4聯通，將L[3]和與L[4]相連的全部節點都賦予n4的序號，L = [4,4,4,4]。

　　對於迴路沒必要從新負值：

　　n1與n4聯通，可是它們之間已經有迴路了，L[1] == L[4]；

　　n1與n3聯通，它們之間一樣有迴路，L[1] == L[3]。

　　最終，L = [4,4,4,4]，判斷兩點n_p與n_q是否聯通，只須要判斷if L[p] == L[q]便可。

關聯矩陣的零空間

　　若是A的零空間是零向量，則意味着Ax = 0有惟一解，此時A應當是方陣，A的行最簡階梯矩陣是單位矩陣，A的各列線性無關。

　　A不是方陣，因此x沒有惟一解。這很容易驗證，Ax = 0中，x有4個份量，方程組中有5個方程，但只有4個未知數，因此方程有無數解。

 

　　只要x₁ = x₂ = x₃ = x₄，就知足Ax = 0。A的零空間是位於R⁴空間下的1維空間：

 

　　若是A是電網，x_n表示每一個節點的電勢，則上面的N(A)意味着全部節點的電勢相等，不存在電勢差，所以不存在電流。若是把n4節點接地，就會產生電勢差，此時至關於將x₄的電勢設爲0：

 

　　對於Ax來講，x₄ = 0意味着A的最後一列不起做用（最後一列的各個份量與0的相乘老是0）。這樣，A前三列就變成線性無關，實際上A的任意三列都是線性無關，A的秩是3。

 

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 做者：我是8位的

出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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