線性代數筆記_2

線性代數第二章知識點總結

1. 增廣矩陣&係數矩陣

• 原方程：

\[\begin{cases} -x_1+2x_2+x_3 = 2\\ 3x_1+18x_2+x_3 = 12\\ 4x_2+12x_3=2\\ \end{cases} \]

• 增廣矩陣 \(\overline{A}\)：

\[\left[\begin{array}{lcr|r} -1 & 2 & 1 & 2\\ 3 & 18 & 1 & 12\\ 0 & 4 & 12 & 2 \end{array}\right] \]

• 係數矩陣 \(A\)：

\[\left[ \begin{matrix} -1 & 2 & 1 \\ 3 & 18 & 1 \\ 0 & 4 & 12 \end{matrix} \right] \]

2. 階梯型矩陣

• 階梯型矩陣：
  前r（r<=n）行不全爲0，其他行皆爲0的矩陣，且矩陣第k行第一個非零元素\(a_{kj_k}\)（階梯頭）知足

\[j_1<j_2<j_3<...<j_n \]

例如：

\[\left[ \begin{matrix} -1 & 0 & 12 & 5 \\ 0 & 18 & 5 & 1\\ 0 & 0 & 12 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \]

• 約化階梯型矩陣：
  階梯型矩陣每行第一個非零元素爲1，且階梯頭所在列的其餘元素全爲0。
  
  例如：

\[\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \]

3. 矩陣的秩：R

• 階梯型矩陣的秩等於其不爲零的行的行數

• 初等行（列）變換不改變矩陣的秩，可用此性質將通常的行列式轉化爲階梯型行列式來求秩！

• 設 A=[\(a_{ij}\)]是n*n的矩陣，則有：

  • R(A)=n的充分必要條件是|\(a_{ij}\)|$\neq$0（滿秩矩陣）
  • R(a)\(\lt\)n的充分必要條件是|\(a_{ij}\)|=0

4. 解線性方程組

1. 通常方程組：

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n = b_2\\ .........\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n = b_m\\ \end{cases} \]

\[A = \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right] \]

\[\overline{A} = \left[\begin{array}{cccc|r} a_{11}& a_{12}& \cdots &a_{1n} &b_1\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} &b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} &b_n \\ \end{array}\right] \]

• 有解 \(\Leftrightarrow\) \(R\)(\(\overline{A}\)) = \(R(A)\)
  • 有惟一解 \(\Leftrightarrow\) \(R\)(\(\overline{A}\)) = \(R(A)\) \(= r = n(未知量個數)\)
  • 有無窮多個解 \(\Leftrightarrow R(\overline{A}) = R(A) = r < n(未知量個數)\)，此時有 \(n-r\) 個自由未知量
  • 特別地當m=n時，矩陣(行列式)有惟一解 \(\Leftrightarrow |a_{ij}|_n\not=0\)( 克拉默法則？)

2. 齊次方程組：

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n = 0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n = 0\\ .........\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n = 0\\ \end{cases} \]

• 即 \(b_1=b_2=b_3=b_4=...=b_n=0\) 的特例咱們稱爲齊次方程組，注意到其必有解，且爲0解！！！
• 只有零解 \(\Leftrightarrow\) \(R\)(\(\overline{A}\)) = \(R(A)\) \(= r = n(未知量個數)\)
• 有非零解 \(\Leftrightarrow R(\overline{A}) = R(A) = r < n(未知量個數)\)，此時有 \(n-r\) 個自由未知量
• 特別地當 \(m=n\) 時，矩陣(行列式)只有零解（惟一解） \(\Leftrightarrow |a_{ij}|_n\not=0\), 有非零解 \(\Leftrightarrow |a_{ij}|_n=0\)

5.重要題型及解法：

參考來自P59頁，線性代數簡明教程 第二版 11.5教材