【線性代數】圖與網絡

       前面的關於線性代數的文章都是從數學的角度來解說的。本文將換個角度來解說問題。

導師時常告訴我，凡事都要想一想它的物理或實際意義，需要透過現象看本質，這樣就能更加深入的理解，這樣就可以看看線性代數有什麼實際的用途。

       若是有例如如下電路網絡：

圖中有1，2，3，4號節點，y1，y2，y3，y4，y5五條邊，箭頭的指向標明可以電流流向。

咱們若是電流的出發點設爲-1，到達點設爲1。則咱們可以經過矩陣來表示上述網絡：

矩陣零空間的物理意義

咱們首先考慮矩陣A的零空間。則有：

        從上面的式子可以看出Ax的結果是各個節點之間的差值，若是Xi爲第i點的電勢，那咱們就賦予了物理意義：Ax=0的意思是當節點電勢取何值時，所有的節點之間的電勢差爲0。很是顯然。當所有節點等電勢時顯然成立，即：

        咱們將圖中各邊的電流用b表示，則有等式Ax=b。當中A表示了電路節點之間的關係，x表明了各點的電勢，b表明了各邊的電流。

這樣。咱們就將一個物理問題數學化了。

上面討論中b=0，x中各個份量一樣，即說明電勢一樣，網絡中沒有電流，這與咱們的物理常識是一致的：電勢差是產生電流的緣由。

矩陣左零空間的物理意義

        上面咱們看了矩陣A的零空間，如下咱們討論矩陣A的左零空間，爲了給咱們的式子賦予實際意義。在下式中。咱們若是y爲每條邊的電流，b爲每個節點的電流值，b=0說明電流爲0。

該式反應的是電流中的基爾霍夫電流定律：流入一個節點的電流與流出的是相等的，即合電流爲0

       舉例說明，-Y1-Y3-Y4=0說明的是1號節點知足KCL的條件。

咱們可以經過高斯消元法求得解，但是咱們可以經過圖來獲得解：

在電路網絡圖中，咱們可以看到，1，2，3號節點構成一個迴路。1，3，4號也構成一個迴路，爲了知足基爾霍夫電流定律。咱們可以僅僅讓電流在迴路中循環流動。即：咱們可以獲得兩個特解：

那麼左零空間可以表示爲上述兩個特解的線性組合。

        對AT進行消元。咱們可以發現其秩是3，即列中有三行是線性無關的。 由上面的兩個特解，咱們知道第1。2。3列是相關的，第3。4，5列是相關的，除此以外的隨意三列都是線性無關的。咱們發現Y1,Y2,Y3剛好構成迴路。Y3,Y4,Y5也剛好構成迴路， 這說明相關性是由迴路產生的。

歐拉公式的證實

歐拉公式：迴路數=邊數-頂點數+1

       前面文章說過。假設一個m*n的矩陣A的秩爲r，則其左零空間的維數爲m-r。

在這裏，左零空間的維數表明的是不相關的迴路數。m表明的是邊數，由於矩陣A的零空間是1維的，則列空間的維數爲r=n-1。

因此有下式成立（即歐拉公式）：

      不相關的迴路數=邊數-頂點數+1

 

原文：http://blog.csdn.net/tengweitw/article/details/41080571

做者：nineheadedbird