對抗搜索（二）

        在上一篇咱們分析了對抗搜索的基本思想，本文在上一篇的基礎上對算法部分步驟進行優化。首先咱們看一個基於對抗搜索創建的博弈樹，對上篇的內容作一個簡單的回顧。（本篇內容可使用上篇開頭說的兩本書做爲參考）

        觀察這顆博弈樹，咱們可知它的固定深度是3，MAX先執行。換句話來講就是，MAX爲了決定第一步該走A、B仍是C，它要從根節點開始遍歷深度爲3的子樹。再換句話來講，這顆樹其實只是爲了得到MAX在第一步走的時候創建的博弈樹;一樣對於MIN方來講，假如MAX第一步選擇走A，那麼以A節點爲根節點，一樣創建一顆深度爲3的子樹，經過遍歷該子樹，得到MIN在這一步的最佳選擇，A一、A2或者A3（未畫出該圖）。

        通俗的說，對抗搜索其實就是在有限深度內枚舉雙發在每一步的選擇，經過比較最終節點的狀態（最大深度時）優劣，來得到此時執行方的最優選擇。

        迴歸到原圖，對MAX的選擇進行一個詳細的分析（請結合上一篇的MAX_VALUE和MIN_VALUE代碼）：

1.  第一步由MAX方執行，假設此時的節點狀態爲R，R有三個選擇，即三個後繼節點--A、B、C；R要在這三個選擇中選出「最利於獲勝」的節點做爲本身的執行步驟，按照極大極小值方法，即max(A,B,C)，此時深度爲0;
2. 接下來輪到MIN方執行，它要在R選擇的步驟基礎上，選擇利於本身的最優步驟，此時深度爲1；
3. 接下來輪到MAX方執行，它一樣在MIN選擇的步驟基礎上，選擇利於本身的最優步驟，此時深度爲2；
4. 接下來本應輪到MIN方執行，因爲它已經到達最大深度3，再也不往下「遞歸」，即到達了該樹的葉子節點，使用評價函數來計算當前葉子節點狀態的值。能夠看到每一個葉子節點都由一個評估值。
5. 而後從葉子節點開始往上回溯，看到在深度2時，MAX方在每個選擇下的最優選擇；
6. 繼續往上回溯，此時回溯到MIN方的選擇；
7. 最終咱們回溯到最初MAX此時的最優選擇，選擇C做爲這一步的選擇；

        接下來咱們思考一個問題，咱們能夠看到上述的算法是對全部的候選項都進行枚舉遍歷比較，這樣若是深度比較大時，好比固定截取深度爲10，那麼對每一步來講都要計算最大深度爲10的子樹，這樣的計算量會很是大。有沒有可能縮小比較範圍？

        首先咱們要清楚，max_value和min_value方法以DFS(深度優先)進行遍歷。接下來咱們對以A節點爲根節點的子樹進行詳細分析。首先從深度3開始往上回溯時，此時A1的最優選擇爲6；此時再往上回溯，A節點此時的最優選擇爲6；而後開始遍歷A2節點，由於A節點此時的值是6，若是A2節點可以獲得該值的信息的話，那麼在以A2節點爲根的深度遍歷時，遇到比6大的值，其實能夠放棄該子樹的後續遍歷了。緣由就是A2節點是MAX方來執行，若是A2的子節點有比6大的，那麼MAX方確定會選擇比6大的值，而A節點是MIN方來執行，它要選擇的是A一、A二、A3的最小值，因此此時A節點確定不會選擇A2做爲最優選擇。

        一樣，在A的選擇結束後，向上回溯到R，此時R的最優選擇是6，因爲R要選取最大值，那麼在對剩餘以B和C爲根節點進行深度遍歷時，若是有遇到比6小的值，那麼該節點確定不是最優的選擇。緣由就是MAX方要選擇後繼節點中的最大值，比6小的話，確定不是最優選擇。

        上述方法就是樹結構最經常使用的優化方法--剪枝，這裏的優化方法叫作Alpha-Beta方法。下面是經過Alpha-Beta剪枝方法對max_value方法和min_value方法的改進。

int max_value ( int dep , state s , int alpha , int beta ){
    if ( terminal ( s )) return e ( s ); //終止狀態
    if ( dep == maxdepth ) return e ( s ); //深度截斷，返回評價函數
    v = - inf ; //初始化爲負無窮
    succ = make_successors ( s ); // succ [ i爲第]個後繼狀態i
    for ( i = 0; i < succ . count ; i ++){
        v = max (v , min_value ( succ [ i ] , alpha , beta )); //計算全部兒子的最大值
        if ( v >= beta ) return v ; //β剪枝
        alpha = max ( alpha , v ); //更新α爲最大值
    }
    return v ;
}

int min_value ( int dep , state s, int alpha, int beta){
    if ( terminal ( s )) return e ( s ); //終止狀態
    if ( dep == maxdepth ) return e ( s ); //深度截斷，返回評價函數
    v = inf ; //初始化爲無窮大
    succ = make_successors ( s ); // succ [ i爲第]個後繼狀態i
    for ( i = 0; i < succ . count ; i ++){
    v = min (v , max_value ( succ [ i ] , alpha , beta )); //計算全部兒子的最小值
        if ( v <= alpha ) return v ; //α剪枝
        beta = min ( beta , v ); //更新β爲最小值
    }
    return v ;
}

         接下來咱們按照改進後的max_value方法和min_value方法對上述的博弈樹進行剪枝，方便你們理解。

1. 初始狀態,alpha=-inf, beta=inf （inf表明最大值）；經過深度優先遍歷向下傳遞alpha, beta， 在到達葉子節點時，由於是計算評價函數alpha和beta其實沒有用；而後開始向上回溯到A1節點；
2. A1節點回溯前alpha=-inf, beta=inf，回溯後變爲alpha=6, beta=inf；向上回溯到A節點；
3. A節點回溯前alpha=-inf,beta=inf, 回溯後變爲alpha=-inf, beta=6; 向下遞歸遍歷A2節點；
4. A2節點此時alpha=-inf, beta=6; 繼續向下遞歸遍歷，咱們知道A2是max方來執行，此時調用的是max_value方法，而且有三個後繼節點；
   1. 遍歷第一個節點時，2<6, alpha = 2, beta=6;
   2. 遍歷第二個節點時，8>6, 此時直接返回，也就是第三個節點再也不遍歷，由於max此時的選擇確定是大於6的，對A節點來講，A2節點確定不是最優的選擇；
   3. 此時向上回溯到A節點；
5. 一樣對於A3節點來講，在遍歷完第一個節點7時，直接返回，繼續回溯到A節點；
6. 此時A節點的alpha = -inf, beta=6; 此時A節點向上回溯到R節點；
7. R節點回溯前alpha=-inf,beta=inf; 回溯後變爲alpha=6, beta=inf; R節點向下深度遍歷到B節點；
8. B節點alpha=6, beta=inf; 繼續向下遞歸到B1節點；
9. B1節點alpha=6, beta=inf; 繼續向下遞歸遍歷三個後繼節點，三個節點的值都比beta小，因此只是在每一個節點內部更改了alpha；最終回溯到B1節點；
10. B1回溯前alpha=6, beta=inf, 回溯後alpha = 6, beta = inf; 接着向上回溯到B節點;
11. B節點回溯前alpha=6, beta=inf, 此時回溯的值是5， 5<alpha=6, 直接回溯到R節點，也就是說直接裁剪了B2和B3節點值。緣由： 由於B節點是由MIN方來執行，它要選擇最小的節點做爲最佳選擇，因此不論B2和B3是什麼值，對於B來講最佳選擇確定是小於等於5；而R是選擇最大值，此時，R此時最優的選擇是6，確定不會選擇B節點做爲最優選擇，因此對於B2和B3來講，已經沒有繼續搜索的必要了；接着向上回溯到R節點；
12. R節點回溯前alpha=6, beta=inf; 向下遞歸遍歷C節點；
13. C節點alpha=6, beta=inf, 繼續向下遞歸遍歷C1;
14. C1節點alpha=6, beta=inf, 繼續向下遞歸遍歷葉子節點， 因爲都小於beta, 因此依然只是比較alpha的值，獲取最大值向上回溯到C節點;
15. C節點回溯前alpha=6,beta=inf, 回溯後alpha = 6, beta=7; 向下遞歸遍歷C2節點；
16. C2節點alpha=6,beta=7, 向下遞歸遍歷葉子節點；
    1. 遍歷第一個葉子節點4， 小於beta;
    2. 遍歷第二個葉子節點8， 大於beta, 此時直接返回，裁剪了葉子節點1，直接向上回溯到節點C節點;
17. C節點回溯前alpha = 6, beta=7；回溯後返回值爲8大於beta, 依然選取最小值，alpha=6, beta=7;
18. 對於C3節點與C2的處理方式相同，C3向上回溯到C節點;
19. C節點回溯前alpha=6,beta=7,回溯後alpha=6,beta=7, 並選擇最小值爲7回溯到R節點；
20. R節點回溯前alpha=6,beta=inf，回溯後alpha=7,beta=inf;

    最終的裁剪圖以下，標紅的表明它的子樹都被裁剪了。

總結

        alpha表明的是MAX方選擇的最小下界；

        beta表明的是MIN方選擇的最大上界；