拿起算法的鋼筆: 找出兩個有序數組的中位數

時間 2019-11-16

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給定兩個大小爲 m 和 n 的有序數組 nums1 和 nums2算法

題目：請你找出這兩個有序數組的中位數，而且要求算法的時間複雜度爲 O(log(m + n))。

你能夠假設 nums1 和 nums2 不會同時爲空。數組

示例 1:動畫

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]spa

則中位數是 2.03d

示例 2:code

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]視頻

則中位數是 (2 + 3)/2 = 2.5blog

分析：

常規作法，是 O(m+n)

兩個有序數組，合併成一個有序數組，取中位數，
思路很清晰leetcode

這裏只要取中位數，只要保證，這個數字左邊的元素個數（數組一左邊 i 個+數組二左邊 j 個）與右邊的元素個數相等，這個數字左邊的元素都小於右邊的元素，rem

就能夠認爲，這個數字是咱們想要的

先分片, 保證找到的中位數，這個數字左邊的元素個數（數組一左邊 i 個+數組二左邊 j 個）與右邊的元素個數相等

由於是中間位置的數字，
若是第一個數組 nums1 取 i 個，（ 0 <= i <= m ）,
那麼第二個數組 nums2 裏面取 j 個, （ 0 <= j <= n ）,

i 與 j 知足必定的關係 i + j = ( m + n )/2 , 或者 i + j = ( m + n + 1)/2 , 由於 m + n 多是奇數，也多是偶數。
那麼 j = ( m + n + 1 ) / 2 - i

再取值，這個數字左邊的元素都小於右邊的元素

i 和 j 把兩個數組，各分紅兩片，出現了四個關鍵的數字，

數組一左邊最大，num1LeftMax

數組一右邊最小，num1RightMin

數組二左邊最大，num2LeftMax

數組二右邊最小，num2RightMin

若是 num1LeftMax <= num2RightMin, num2LeftMax <= num1RightMin, 就找到咱們想要的中位數了，由於 num1 是有序數組，num1LeftMax 固然小於 num1RightMin，一樣的 num2LeftMax < num2RightMin

O(m), 由於這就是二分搜索，搜索條件不是很直接

爲何是 O(m), 由於這就是二分搜索。

通常咱們的二分搜索是一個有序數組，查找元素，每一次查找，把搜索範圍縮減一半。經過移動上邊界和下邊界

就是比較條件相對簡單，直接比元素大小

這道題其餘與基礎的二分查找一致，比較條件有些變化

若是 num1LeftMax > num2RightMin, 數字一左邊的大了，就是 i 大了，就要移動右邊界，就是右邊界變小

（左邊界只能右移，只能變大。右邊界只能左移，只能變小）

其餘狀況，相似處理

拿起算法的鋼筆，跑一遍

示例 3:

nums1 = [ 1, 3，8，9，15 ]
nums2 = [ 7， 11， 18， 19， 21，25 ]

中位數是 11

左邊有 5 個元素， m = 5,

右邊有 6 個， n = 6

數組一右邊最小，num1RightMin < 數組二左邊最大，num2LeftMax
就是 i 小了，左邊界右移， low = 3

如今知足要求了，m + n 是奇數，左邊多一個，選數組一左邊最大和數組二左邊最大中較大的，就是 11

拿起算法的鋼筆，再跑一遍，爲了印象深入

示例 4:

nums1 = [ 23, 26，31，35 ]
nums2 = [ 3， 5， 7， 9， 11，16 ]

中位數是 13.5， 11 和 16 的平均值

左邊有 4 個元素， m = 4,

右邊有 6 個， n = 6

數組一左邊最大，num1LeftMax > 數組二右邊最小，num2RightMin
就是 i 大了，右邊界左移, high = 1

左邊一個元素都不要，默認數組一左邊最大爲負無窮，num1LeftMax = Number.MIN_SAFE_INTEGER,

如今知足要求了，m + n 是偶數，找出中間兩個 11 與 16，求平均值爲 13.5

PS: 我的看，看書和看算法動畫，不錯，就是少了一點參與感。
拿起鋼筆，寫寫畫畫，須要保證結果一致嘛，我感受，理解的好一些

代碼以下：

選短的數組處理，處理快，還保證了 j 必定大於 0 （由於 n > m），避免了一些邏輯處理。

裏面處理了一些邊界條件， i = 0, 第一個數組左邊一個元素都不要，i = m, 第一個數組右邊一個元素都不要

m + n 的值是奇數，這個好處理一點，只須要找出一個元素

m + n 的值是偶數，須要找出兩個元素

var findMedianSortedArrays = function (nums1, nums2) {
    if (nums1.length > nums2.length) {
        [nums1, nums2] = [nums2, nums1]
    }
    const arr1Length = nums1.length, arr2Length = nums2.length;
    let low = 0, high = arr1Length;
    const halfLen = Math.floor((arr1Length + arr2Length + 1) / 2);

    while (low <= high) {
        let i = Math.floor((low + high) / 2); 
        let j = halfLen - i;
        let num1LeftMax = i == 0 ? Number.MIN_SAFE_INTEGER : nums1[i - 1]
        let num1RightMin = i == arr1Length ? Number.MAX_SAFE_INTEGER : nums1[i]
        let num2LeftMax = j == 0 ? Number.MIN_SAFE_INTEGER : nums2[j - 1]
        let num2RightMin = j == arr2Length ? Number.MAX_SAFE_INTEGER : nums2[j]
        if (num1LeftMax <= num2RightMin && num2LeftMax <= num1RightMin) {
            var answer = 0
            if (Math.round((arr1Length + arr2Length) % 2) == 1) {
                answer = Math.max(num1LeftMax, num2LeftMax)
            }
            else {
                // Math.round((arr1Length + arr2Length) % 2) == 0
                let leftMax = Math.max(num1LeftMax, num2LeftMax)
                let rightMin = Math.min(num1RightMin, num2RightMin)
                answer = (leftMax + rightMin) / 2
            }
            return answer
        }
        else if (num1LeftMax > num2RightMin) {
            high = i - 1
        }
        else { // num2LeftMax > num1RightMin
            low = i + 1
        }
    }
    return 0;
};