兩個有序數組求中位數的O(logn)算法

好好地寫寫這個題目的解法吧。

因爲複雜度是logn的，因此考慮要用到二分。

首先，假設兩個數組的長度都是奇數，並且大於1。令mid 爲 (1 + n) / 2，也就是中間的那個元素的下標。考慮一下X[mid]和Y[mid]的大小關係：

（1） X[mid] > Y[mid]
這種狀況下，咱們能夠想，當咱們把兩個數組合並排序後，X[mid]的排名（排名從1開始）確定是大於n的，由於咱們能夠肯定這些元素必定小於等於X[mid]：X[1...mid - 1]，Y[1...mid - 1] ，Y[mid]。
同理，能夠分析出來，Y[mid]的排名確定是小於n + 1的。引入一個定理，若是咱們同時殺掉X[mid]後面的任意k個元素和Y[mid]前面的任意k個元素（k > 0），那麼，獲得的新的兩個數組的中位數，與原數組，仍然是同樣的。這個定理畫個圖不難證實。因此，原問題就被轉化爲一個更小的子問題了。

（2）X[mid] == Y[mid]
卻是這種狀況，我想了好久，到底應該怎麼處理。後來發現，本身犯傻了。若是X[mid]等於Y[mid]的話，考慮一下咱們排序的過程。首先，咱們能夠將X[1...mid-1]和Y[1...mid-1]合併排序獲得一個長度爲2*（mid-1）的新數組P，而後咱們把X[mid + 1...n]和Y[mid + 1...n]合併排序，獲得一個長度也是2*（mid-1）的新數組R，最後，咱們把X[mid] 和 Y[mid]插在中間，就獲得最後的有序數組了：P，X[mid]，Y[mid]，R
也就是說，當X[mid] == Y[mid]時，你能夠立刻肯定X[mid]和Y[mid]就是你要找的兩個中位數！

（3）X[mid] < Y[mid]
這種狀況和狀況（1）對稱，不累贅了。


而後，假設兩個數組的長度都是偶數，並且大於1。令mid爲（1+n）/ 2，也就是中間的兩個元素裏左邊的那個元素的下標。考慮一下X[mid] 和 Y[mid + 1]的大小關係
（1）X[mid] > Y[mid]
使用與上面奇數長度的狀況的相似的思路，咱們能夠知道，X[mid]的排名在一半之後，而Y[mid]的排名在一半之後，因此，咱們也能夠用一樣的思路來縮小問題的規模。
（2） X[mid] == Y[mid]
一樣的思路，因此一樣的結論。當它們相等的時候，你是能夠立刻肯定它們就是你要找的兩個中位數。
（3）X[mid] < Y[mid]
對稱，同樣的作法。