兩個有序數組的中位數【算法】

時間 2019-12-11

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有兩個有序數組A和B，設計算法求出A和B的中位數。算法

狀況1. 數組A、B長度相等，設爲n。數組

1）分別計算A和B的中位數m1和m2。spa

2）比較m1和m2。若是m1等於m2，那麼最終結果就是m1(m2)。設計

3）若是m1大於m2，那麼中位數一定在 $A\left [ 0\cdots n/2 \right ]$ 和 $B \left [ n/2\cdots n-1 \right ]$ 兩個子數組中。code

4）若是m1小於m2，那麼中位數一定在 $A \left [ n/2\cdots n-1 \right ]$ 和 $B \left [ 0\cdots n/2 \right ]$ 兩個子數組中。blog

5）重複上述步驟，直至兩個子數組的大小均爲2，那麼最終結果爲 $Median=\left ( max\left ( A\left [ left \right ],B\left [ left \right ] \right )+min\left ( A\left [ right \right ],B\left [ right \right ] \right ) \right )/2$ 。ip

狀況2. 數組A、B長度不相等，分別設爲m，n(m <= n)。
ci

假設 $A\left [ i \right ]$ 是中位數，那麼由於數組是有序的， $A\left [ i \right ]$ 必定比數組A中前數大。並且，若是 $A\left [ i \right ]$ 是中位數， $A\left [ i \right ]$ 必定會比數組B中前 $j=\left \lceil \left ( m+n \right )/2 \right \rceil-\left ( i-1 \right )$ 個數大。若是 $A\left [ i \right ] >B\left [ j \right ]$ 且 $A\left [ i \right ] <B\left [ j+1 \right ]$ ，那麼 $A\left [ i \right ]$ 就是中位數，不然可根據 $A\left [ i \right ]$ 和 $B\left [ j \right ]$ 、 $B\left [ j+1 \right ]$ 關係判斷 $A\left [ i \right ]$ 比中位數大仍是小。由於數組A是有序的，因此能夠利用二分搜索在 $\Theta \left ( log_{2}n \right )$ 時間內找到 $A\left [ i \right ]$ 。僞代碼以下：leetcode

imin, imax = 0, m
while imin <= imax
    i = (imin + imax) / 2
    j = ((m + n + 1) / 2) - i
    if j > 0 and i < m and B[j - 1] > A[i]
        imin = i + 1
    else if i > 0 and j < n and A[i - 1] > B[j]
        imax = i - 1
    else
        if i == 0
            num1 = B[j - 1]
        elif j == 0
            num1 = A[i - 1]
        else
            num1 = max(A[i - 1], B[j - 1])

if (m + n) & 1:
    return num1

if i == m
    num2 = B[j]
else if j == n
     num2 = A[i]
else
     num2 = min(A[i], B[j])

return (num1 + num2) / 2.0

參考資料：http://www.geeksforgeeks.org/median-of-two-sorted-arrays/get

https://oj.leetcode.com/discuss/15790/share-my-o-log-min-m-n-solution-with-explanation

http://ocw.alfaisal.edu/NR/rdonlyres/Electrical-Engineering-and-Computer-Science/6-046JFall-2005/30C68118-E436-4FE3-8C79-6BAFBB07D935/0/ps9sol.pdf

https://oj.leetcode.com/discuss/11174/share-my-iterative-solution-with-o-log-min-n-m

http://www.geeksforgeeks.org/median-of-two-sorted-arrays-of-different-sizes/