Microfacet 模型的反射與折射

Microfacet 微平面模型是普遍應用的對rough surface建模的工具，基本上生產和科研裏用到的那些耳熟能詳的模型，blinn，ward，beckmann都屬於microfacet的推導結果。基本思想也很簡單，就是用很小的微平面的組合去模擬粗糙的物體表面。而這些微小的平面元則能夠當作完美的反射或者折射表面。

理論上的Microfacet模型應該包含了實際的粗糙表面全部光學行爲包括反射折射。不過實際上在production的渲染中應該是把鏡面高光和漫反射分離--僅僅是爲了方便調整。這裏的討論和總結只針對通常狀況，既完整的BRDF表達式。

1.Mircrofacet distribution function

咱們用一個關於法向量m的函數D來描述微平面的分佈狀況，而這個函數關於立體角的積分就等於物體的表面積，固然它確定大於或者等於物體的宏觀表面積：

分佈函數D基本上決定了Microfacet模型BRDF的形狀和性質，咱們所說的Blinn, GGX 也就是這些分佈的名稱。

2. Shadowing-Masking function G

函數G是一個雙向函數，也就是說:

G(i,o,m) = G(o,i,m)

實際上函數G對最終的BRDF形狀影響很小，在重要性採樣的時候通常也會忽略之，不過G仍是必要的，主要爲了表面反射和折射的能量守恆。

通常用到的G函數有beckmann推導的G：

3. BSDF的推導

咱們把每一個微平面的scattering行爲當作完美鏡面反射或者折射，而後對微平面m向量積分，就能夠獲得BSDF的表達式：

在G 和 D 的表達式都已知的狀況下咱們只要把fs用純鏡面的函數來表示就能夠了，具體參考光學書籍裏計算fresnel反射和fresnel折射的公式，有一點須要注意的就是這個積分是關於m向量的，而實際上BRDF或者BTDF函數都是關於出射光線方向向量的，因此這裏須要作一個轉換，也就是高數上說的計算雅克比行列式：

和

對於鏡面反射，法向量就是出射和入射向量的半角向量，以下圖：

可算出：

對於折射來講，由半角向量推導出出射向量會稍微複雜：

最後能夠獲得的行列式爲：

代入那個積分的式子，能夠獲得BSDF表達式。

反射：

折射：

4.重要性採樣

在採樣Microfacet BSDF的時候，咱們通常是按照D函數的形狀去分佈採樣點，由於D致使了BSDF結果絕大部分的variance，並且BSDF表達式自己是由三個函數的乘積構成，按照它去重要性採樣是不可能的。

具體採樣的辦法能夠參考上一篇博文，採樣獲得半角向量m以後，再反推出出射向量。

5.結果比較

實際上各類BSDF在渲染中的差異沒有那麼大，調整參數都能出相似的效果，實際儀器測量BSDF的具體參數顯然是最靠譜的模擬一種表面的方法，固然也有不少科研人員是這麼幹的，不過在production裏顯得不那麼實際。

Phong:

Blinn:

GGX: