計算最大公因數的歐幾里得算法

計算最大公因數的歐幾里得算法

最大公因數
最大公因數，也稱最大公約數，指兩個或多個整數共有約數中最大的一個。a，b的最大公約數記爲（a，b）。求最大公約數有多種方法，常見的有質因數分解法、展轉相除法等等。

歐幾里得算法
歐幾里德算法又稱展轉相除法，是指用於計算兩個正整數a，b的最大公約數。應用領域有數學和計算機兩個方面。計算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。歐幾里得算法在RSA加密算法中有運用。

源碼

//當N>M時，第一次循環以後兩數將進行交換
int Gcd(int m,int n){
    int r;
    while(n > 0){
        r = m % n;
        m = n;
        n = r;
    }
    return m;
}

算法分析
算法經過連續計算餘數，知道餘數是0爲止，最後所得的非0餘數就是最大公因數。例如 M=1989 ，N=1590，則餘數序列爲399，393，6，3，0。於是，Gcd(1989,1590)=3，從餘數的序列可知，這是一個快速收斂的算法。要想得出該算法的運行時間，就須要肯定餘數序列究竟有多長？不妨大膽的猜想log(N)看似是很是理想的答案，可是餘數序列遞減的規律並不是是按照常數因子所遞減的，事實上，數學家們已經證實了，在兩次迭代之後，餘數的值最可能是原始值的一半。由此可知，迭代次數之可能是2log(N) = O(logN)從而獲得算法的時間複雜度。下面，咱們從數學家那裏問來了證實過程。

時間複雜度證實
定理：
若是 M > N ，則 M mod N < M/2
證實：若是 N<=M/2 ，則餘數小於N，故定理在這種狀況下成立
若是 N>M/2 ，此時M僅含有一個N，從而餘數爲M-N<M/2 ，定理成立。
從上面的例子來看，2logN 大約是20，可是實際上，咱們只是運行了7次計算，可能有人會說，這個常數2不是最好的界限值。事實上，歐幾里得算法的平均時間複雜度是須要大量的數學分析進行證實的，算法迭代的平均次數是（12ln2lnN）/pi^2+1.47。

有興趣的同窗能夠研究一下質因數分解等其餘算法哦